Pozwól nam uzyskać poczucie dla i Po ( p ) w pierwszej kolejności. Rozważ drzewo pochodnych, które zawiera β ; „zawiera” oznacza tutaj, że możesz odciąć poddrzewa, tak aby β było podsłowem frontu drzewa. Następnie, przed (po) zestawem są wszystkie potencjalne fronty części drzewa po lewej (prawej) stronie β :Before(β)After(β)βββ
[ źródło ]
Musimy więc zbudować gramatykę dla wyłożonej poziomo (pionowo) części drzewa. Wydaje się to dość łatwe, ponieważ mamy już gramatykę dla całego drzewa; musimy tylko upewnić się, że wszystkie sentymentalne formy są słowami (zmienić alfabety), odfiltrować te, które nie zawierają (co jest normalną właściwością, ponieważ β jest ustalone) i odciąć wszystko po (przed) β , w tym β . To cięcie powinno być również możliwe.ββββ
Teraz do formalnego dowodu. Zmienimy gramatykę zgodnie z przedstawionymi rysunkami i wykorzystamy właściwości zamykające do filtrowania i wycinania, tzn. Wykonujemy dowód niekonstruktywny.CFL
Niech gramatyka bezkontekstowa. Łatwo zauważyć, że SF ( G ) jest pozbawiony kontekstu; konstruuj G ′ = ( N ′ , T ′ , δ ′ , N S ) w następujący sposób:G=(N,T,δ,S)SF(G)G′=(N′,T′,δ′,NS)
- N′={NA∣A∈N}
- T′=N∪T
- δ′={α(A)→α(β)∣A→β∈δ}∪{NA→A∣A∈N}
z dla wszystkich t ∈ T i α ( ) = N dla każdego z ∈ N . Oczywiste jest, że L ( G ′ ) = SF ( G ) ; dlatego też odpowiednie prefiks Pref ( SF ( G ) ) i sufiks Suff ( SF ( G ) ) również są pozbawione kontekstu¹.α(t)=tt∈Tα(A)=NAa∈NL(G′)=SF(G)Pref(SF(G))Suff(SF(G))
Teraz, dla każdego są L ( β ( N ∪ T ) ∗ ) i L ( ( N ∪ T ) ∗ β ) zwykłe języki. Ponieważ C F L jest zamknięte pod przecięciem i ilorazem prawo / lewo zwykłymi językami, otrzymujemyβ∈(N∪T)∗L(β(N∪T)∗)L((N∪T)∗β)CFL
Before(β)=(Pref(SF(G)) ∩ L((N∪T)∗β))/β∈CFL
and
After(β)=(Suff(SF(G)) ∩ L(β(N∪T)∗))∖β∈CFL.
¹ CFL is closed under right (and left) quotient; Pref(L)=L/Σ∗ and similar for Suff yield prefix resp. suffix closure.
Yes,Before(β) and After(β) are context-free languages. Here's how I would prove it. First, a lemma (which is the crux). If L is CF then:
and
are CF.
Proof? ForBefore(L,β) construct a non-deterministic finite-state transducer Tβ that scans a string, outputting every input symbol it sees and simultaneously searches non-deterministically for β . Whenever Tβ sees the first symbol of β it forks non-deterministically and ceases outputting symbols until either it finishes seeing β or it sees sees a symbol that deviates from β , stopping in either case. If Tβ sees β in full, it accepts upon stopping, which is the only way it accepts. If it sees a deviation from β , it rejects.
The lemma can be jiggered to handle cases whereβ could overlap with itself (like abab -- keep looking for β even while in the midst of scanning for a prior β ) or appears multiple times (actually, the original non-determinisic forking already handles that).
It's fairly clear thatTβ(L)=Before(L,β) , and since the CFLs are closed under finite-state transduction, Before(L,β) is therefore CF.
A similar argument goes forAfter(L,β) , or it could be done with string reversals from Before(L,β) , CFLs also being closed under reversal:
Actually, now that I see the reversal argument, it would be even easier to start withAfter(L,β) , since the transducer for that is simpler to describe and verify -- it outputs the empty string while looking for a β . When it finds β it forks non-deterministically, one fork continuing to look for further copies of β , the other fork copying all subsequent characters verbatim from input to output, accepting all the while.
What remains is to make this work for sentential forms as well as CFLs. But that is pretty straightforward, since the language of sentential forms of a CFG is itself a CFL. You can show that by replacing every non-terminalX throughout G by say X′ , declaring X to be a terminal, and adding all productions X′→X to the grammar.
I'll have to think about your question on unambiguity.
źródło