W obliczeniach kwantowych często interesują nas przypadki, w których grupa specjalnych operatorów unitarnych, G, dla jakiegoś systemu d-wymiarowego daje dokładnie całą grupę SU (d), a nawet tylko przybliżenie zapewniane przez gęstą osłonę SU (d).
Grupa skończonego rzędu, taka jak grupa Clifforda dla układu d-wymiarowego C (d), nie zapewni gęstej osłony. Grupa nieskończonego porządku nie zapewni gęstej osłony, jeśli grupa jest abelowa. Jednak moja szorstka intuicja jest taka, że nieskończona liczba bram i operacji zmieniających bazę grupy Clifford powinna wystarczyć, aby zapewnić gęstą osłonę.
Formalnie moje pytanie brzmi:
Mam grupę G, która jest podgrupą SU (d). G ma nieskończony porządek, a C (d) jest podgrupą G. Czy wszystkie takie G zapewniają gęstą osłonę SU (d).
Zwróć uwagę, że jestem szczególnie zainteresowany przypadkiem, gdy d> 2.
Uważam, że grupa Clifford jest taka, jak zdefiniowano tutaj: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802007
Odpowiedzi:
To nie jest pełna odpowiedź, ale może w pewnym stopniu odpowiada na pytanie.
Ponieważ ma nieskończony porządek, ale nie, to koniecznie zawiera bramę grupy spoza Clifforda. Jednak ma jako podgrupę. Ale dla grupa Clifforda i każda inna bramka spoza grupy Clifforda jest w przybliżeniu uniwersalna (patrz np. Twierdzenie 1 tutaj ). Dlatego wszystkie takie zapewniają gęstą osłonę na .C ( d ) G G C ( d ) d = 2 G S U ( 2 n )G C(d) G G C(d) d=2 G SU(2n)
W przypadku, gdy wydaje się, że możliwe jest udowodnienie, że nadal otrzymujesz gęstą osłonę według następujących zasad (używając notacji powiązanej z pytaniem):d>2
źródło
Uważam, że odpowiedź na pierwotne pytanie jest prawdopodobnie tak, ale niestety nie mogę tego ostatecznie powiedzieć. Mogę jednak pomóc odpowiedzieć na rozszerzone pytanie Petera.
W matematyce / 0001038, autorstwa Nebe, Rains i Sloane, pokazują, że grupa Clifforda jest maksymalną skończoną podgrupą U (2 ^ n). Solovay pokazał to również w niepublikowanej pracy, która „zasadniczo używa klasyfikacji skończonych prostych grup”. The Nebe i in. artykuł pokazuje również, że qudit grupa Clifforda jest maksymalną podgrupą skończoną dla liczby pierwszej p, również przy użyciu klasyfikacji grup skończonych. Oznacza to, że grupa Clifforda i każda brama jest grupą nieskończoną, co czyni jedno z założeń pierwotnego pytania zbędnym.
Teraz zarówno Rains, jak i Solovay powiedzieli mi, że następny krok, pokazujący, że nieskończona grupa zawierająca grupę Clifforda jest uniwersalna, jest stosunkowo prosty. Nie wiem jednak, jak ten krok faktycznie działa. A co ważniejsze w pierwotnym pytaniu, nie wiem, czy rozważali oni tylko sprawę qubit, czy też sprawę qudit.
Właściwie mogę dodać, że nie rozumiem też dowodów Nebe, Deszczów i Sloane, ale chciałbym.
źródło
Nie jest dla mnie jasne, czy pytasz o SU (3) czy SU (3 ) działający na iloczyn tensorowy quditów. Zakładam, że pytasz o SU (3). Nie jest dla mnie jasne (pomimo tego, co powiedziałem w poprzedniej wersji mojej odpowiedzi), że instrukcja dla SU (3) implikuje instrukcję dla SU (3 ). nn n
Tak długo, jak zestaw bram nie leży w podgrupie SU (3), będzie generować gęstą osłonę SU (3). Musisz więc sprawdzić, czy jakaś nieskończona podgrupa SU (3) zawiera grupę Clifford. Jestem całkiem pewien, że nie, ale nie mogę powiedzieć tego na pewno. Oto pytanie o przepełnienie matematyki, które daje wszystkie podgrupy Lie SU (3).
źródło
Pomyślałem, że powinienem zaktualizować ten wątek, zanim witryna zostanie na zawsze zamrożona.
Odpowiedź Daniela jest właściwa. Ten „następny krok”, o którym wspomina, pojawia się w późniejszej książce Nebe, Rains i Sloane „ Self-Dual Codes and Invariant Theory ”.
Odpowiedź na to pytanie brzmi zatem „Tak” - i wynika bezpośrednio z Wniosku 6.8.2 w książce Nebe, Rains i Sloane.
Jestem wdzięczny Vadymowi Kliuchnikovowi, który zwrócił mi na to uwagę podczas wizyty w Waterloo.
źródło
Myślę, że następujący artykuł może zawierać odpowiednie konstrukcje dla udowodnienia uniwersalności qudit
http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/39/11/010
W szczególności komentarz na końcu sekcji mówi, że kontrolowana faza , transformata Fouriera i diagonalna bramka z nieracjonalnymi i niewspółmiernymi fazami dają przybliżoną uniwersalność. (Jest to wystarczający warunek dla ale jestem prawie pewien, że nie jest to warunek konieczny.)C Z F D D4 CZ F D D
Jeśli twoje ma prawidłową postać (a ukośne bramy wydają się naturalnym wyborem), wynik ma zastosowanieG
Alternatywnym podejściem byłoby utworzenie stanów pomocniczych wymaganych do implementacji Tudoli qudit lub bezpośrednie użycie wraz z Cliffords do implementacji Toffoli. Trudno powiedzieć, czy jest to możliwe, nie wiedząc więcej o .GG G
źródło