Rozróżnianie

Biorąc pod uwagę stan kwantowy wybrany losowo równomiernie ze zbioru N stanów mieszanych ρ 1 . . . ρ N , jakie jest maksymalne średnie prawdopodobieństwo prawidłowej identyfikacji A ?$\rho_A$$N$$\rho_1 ... \rho_N$$A$

Problem ten można przekształcić w problem odróżnialności dwóch stanów, rozważając problem odróżnienia od ρ B = $\rho_A$.$\rho_{B} = \frac{1}{N-1}\sum_{i\neq A}\rho_i$

Wiem, że dla dwóch stanów kwantowych problem ma dobre rozwiązanie pod względem odległości śledzenia między stanami, gdy minimalizujesz maksymalne prawdopodobieństwo błędu, a nie minimalizując średnie prawdopodobieństwo błędu, i miałem nadzieję, że może być coś podobnego dla ta sprawa. Oczywiście możliwe jest zapisanie prawdopodobieństwa w kategoriach optymalizacji w stosunku do POVM, ale mam nadzieję na coś, w czym optymalizacja została już przeprowadzona.

Wiem, że istnieje ogromna literatura na temat rozróżnialności stanów kwantowych, i czytałem wiele artykułów w ciągu ostatnich kilku dni, próbując znaleźć odpowiedź na to pytanie, ale mam problem ze znalezieniem odpowiedzi na to pytanie szczególna odmiana problemu. Mam nadzieję, że ktoś, kto lepiej zna literaturę, może mi zaoszczędzić trochę czasu.

Ściśle mówiąc, nie potrzebuję dokładnego prawdopodobieństwa, wystarczyłaby dobra górna granica. Jednak różnica między dowolnym stanem a stanem maksymalnie mieszanym jest dość mała, więc granica musiałaby być przydatna w tym limicie.

Jak wspominasz, możliwe jest liczbowe określenie optymalnego średniego prawdopodobieństwa sukcesu, co można skutecznie zrealizować za pomocą programowania półfinałowego (patrz np. Ten artykuł Eldara, Megretskiego i Verghese lub notatki z wykładu Johna Watrousa), ale żadne wyrażenie w formie zamkniętej nie jest znany.

$\frac{1}{N^2} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)$$\frac{2}{N} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)^{1/2}$

$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{N(N-1)} \sum_{i>j} tr|\rho_i-\rho_j|)$$N=2$