Liczba wyraźnych różnic liczb całkowitych wybranych z

21

Podczas moich badań spotkałem następujący wynik.

limnE[#{|aiaj|,1i,jm}n]=1
gdzie m=ω(n) i a1,,am są wybierane losowo z [n] .

Szukam referencji / bezpośredniego dowodu.


Skrzyżowane na MO

Zhu Cao
źródło
1
Jeśli m=n , maksymalna liczba różnych różnic, które można uzyskać, to m(m1)/2<n/2 . Tak więc naprawdę potrzebujesz, aby m rosło szybciej niż n aby to było prawdą. Co chciałbym zrobić, to spróbować obliczyć prawdopodobieństwo, że liczba d jest nie różnica d=|aiaj|.
Peter Shor,
@Shor: dzięki, zaktualizowałem pytanie. I rzeczywiście, ponieważ E(xi)=E(xi) , łatwiej jest obliczyć dla konkretnej różnicy d .
Zhu Cao
1
@ZhuCao, kiedy mówisz „wybierz m liczb całkowitych a1,...,am losowo z [1,n] ”, co to dokładnie rozumiesz? Zakładałem, że iid uniform {1,,n} .
usul
1
@Andras nie, tak nie jest. Na przykład, jeśli nie zostanie wybrana liczba 1 (co dzieje się z prawdopodobieństwem ograniczonym od 0), wówczas różnica n1 nie może się pojawić, a Dn<n . Ale dlaczego tak musi być? Pytanie tylko pyta, czy oczekiwanie Dn/n zbliża się do 1, a nie, że Dn jest równe 1 z dużym prawdopodobieństwem.
James Martin
2
Nie wysyłaj postów na wielu stronach Stack Exchange. Nasze zasady dotyczące witryn zabraniają równoczesnego zamieszczania postów: mówi przynajmniej, że poczekaj tydzień. A jeśli nie otrzymasz dobrej odpowiedzi, zawsze możesz ją oflagować, aby zwrócić uwagę moderatora i poprosić o migrację.
DW

Odpowiedzi:

7

Załóżmy, jak podano, że .m=ω(n)

Napraw dowolne . Rozważymy z . Celem jest pokazanie, że z wysokim prawdopodobieństwem, jak , jest zawarte w zbiorze różnic.ϵ>0r[1,n]r<(1ϵ)nnr

Najpierw rozważ zestaw . Liczba dla taka, że jest dwumianowa z oczekiwaniami wokół . Zatem z dużym prawdopodobieństwem od liczba takich będzie wynosić co najmniej , czyli . Następnie (twierdzenie, „pozostawione jako ćwiczenie”, trudne do pokazania) z dużym prawdopodobieństwem jako , zestaw ma rozmiar co najmniej . Napiszmy dla tego „dobrego zdarzenia”, że .A={ai:i<m/2}[1,ϵn]ii<m/2ai<ϵnϵm/2niϵm/4ω(n)nAnG|A|n

Załóżmy, że rzeczywiście utrzymuje, tzn. Istnieją co najmniej odrębne wartości mniejsze niż , dla . Zauważ, że dla każdej takiej wartości istnieje wartość która jest dokładnie większa. Teraz rozważ wartości dla . Te są niezależne i każdy z nich ma co najmniej prawdopodobieństwo , że jest w odległości od elementu zbioru . Prawdopodobieństwo, że nie wystąpi żadna różnica wynosi co najwyżejGnaiϵni<m/2k[1,n]raiim/2n/n=1/nrAr(11/n)m/2która przyjmuje wartość 0 jako ponieważ . Tak więc prawdopodobieństwo, że utrzymuje, ale nie istnieje różnica wielkości ma tendencję do 0 jako .nm=ω(n)Grn

Zatem (równomiernie w ) prawdopodobieństwo, że jest uwzględnione w zbiorze różnic, ma tendencję do 1 jako . Dlatego stosując liniowość oczekiwań, Ponieważ jest arbitralny, limit wynosi 1 zgodnie z życzeniem.r<(1ϵ)nrn

lim infnE[#{|aiaj|,1i,jm}n]1ϵ.
ϵ
James Martin
źródło
1
Czy traktujesz każdą różnicę jako niezależną w wyrażeniu , a jeśli tak, to czy jest to uzasadnione? 1(1ϵ/n)ω(n)
usul
@ James Oh, teraz widzę, gdzie tęskniłem . Dziękuję Ci. n
Daniel Soltész
@usul: rzeczywiście przepraszam, mój argument był niechlujny i niekompletny. Rozszerzyłem go - myślę, że teraz trzyma wodę.
James Martin