Podczas moich badań spotkałem następujący wynik.
gdzie i są wybierane losowo z .
Szukam referencji / bezpośredniego dowodu.
Podczas moich badań spotkałem następujący wynik.
gdzie i są wybierane losowo z .
Szukam referencji / bezpośredniego dowodu.
Odpowiedzi:
Załóżmy, jak podano, że .m=ω(n−−√)
Napraw dowolne . Rozważymy z . Celem jest pokazanie, że z wysokim prawdopodobieństwem, jak , jest zawarte w zbiorze różnic.ϵ>0 r∈[1,n] r<(1−ϵ)n n→∞ r
Najpierw rozważ zestaw . Liczba dla taka, że jest dwumianowa z oczekiwaniami wokół . Zatem z dużym prawdopodobieństwem od liczba takich będzie wynosić co najmniej , czyli . Następnie (twierdzenie, „pozostawione jako ćwiczenie”, trudne do pokazania) z dużym prawdopodobieństwem jako , zestaw ma rozmiar co najmniej . Napiszmy dla tego „dobrego zdarzenia”, że .A={ai:i<m/2}∩[1,ϵn] i i<m/2 ai<ϵn ϵm/2 n→∞ i ϵm/4 ω(n−−√) n→∞ A n−−√ G |A|≥n−−√
Załóżmy, że rzeczywiście utrzymuje, tzn. Istnieją co najmniej odrębne wartości mniejsze niż , dla . Zauważ, że dla każdej takiej wartości istnieje wartość która jest dokładnie większa. Teraz rozważ wartości dla . Te są niezależne i każdy z nich ma co najmniej prawdopodobieństwo , że jest w odległości od elementu zbioru . Prawdopodobieństwo, że nie wystąpi żadna różnica wynosi co najwyżejG n−−√ ai ϵn i<m/2 k∈[1,n] r ai i≥m/2 n−−√/n=1/n−−√ r A r (1−1/n−−√)m/2 która przyjmuje wartość 0 jako ponieważ . Tak więc prawdopodobieństwo, że utrzymuje, ale nie istnieje różnica wielkości ma tendencję do 0 jako .n→∞ m=ω(n−−√) G r n→∞
Zatem (równomiernie w ) prawdopodobieństwo, że jest uwzględnione w zbiorze różnic, ma tendencję do 1 jako . Dlatego stosując liniowość oczekiwań, Ponieważ jest arbitralny, limit wynosi 1 zgodnie z życzeniem.r<(1−ϵ)n r n→∞
źródło