Partycjonowanie prostokąta bez szkody dla wewnętrznych prostokątów

$C$ jest prostokątem równoległym do osi.

$C_1,\dots,C_n$$C_1\cup\dots\cup C_n \subsetneq C$

Prostokąta zachowaniem podziału na jest partycja , tak że The są parami-Wnętrze rozłączne równoległoosiowym prostokąty, a każdy : , tj. każdy istniejący prostokąt jest zawarty w unikalnym nowym prostokącie, takim jak ten:$C$$C = E_1\cup\dots\cup E_N$$N\geq n$$E_i$$i=1,\dots,n$$C_i \subseteq E_i$

Jaki jest algorytm znajdowania partycji zachowującej prostokąt z małym ?$N$

W szczególności, czy istnieje algorytm znajdowania partycji zachowującej prostokąt z częściami ?$N=O(n)$

NOWA ODPOWIEDŹ: następujący prosty algorytm jest asymptotycznie optymalny:

Rozciągnij każdy z prostokątów $C_i$ dowolnie, w maksymalnym możliwym zakresie, tak aby prostokąty pozostały rozłączone parami.

Liczba otworów wynosi co najwyżej $k-2$ . Jest to optymalnie asymptotycznie, ponieważ istnieją konfiguracje, w których liczba otworów wynosi co najmniej $k-O(\sqrt k)$.

Dowody znajdują się w tym dokumencie .

STARA ODPOWIEDŹ:

Poniższy algorytm, choć nie optymalny, najwyraźniej wystarcza do znalezienia partycji zachowującej prostokąt z $N=O(n)$częściami ) .

Algorytm działa z wielokątem prostoliniowym $P$ , który jest inicjowany do prostokąta$C$ .

Etap 1: Wybierz prostokąt $C_i$ który przylega do zachodniej granicy $P$ (to znaczy nie ma żadnej innej prostokąt $C_j$ między zachodniej części $C_i$ i zachodnim brzegu $P$ ). Miejsce $C_i$ w ciągu $P$ i naciągnąć go aż dotknie zachodniej granicy $P$ . Niech $E_i$ (dla $i=1,\dots,n$ ) będzie rozciągniętą wersją $C_i$ . Niech $P=P\setminus E_i$. Powtarzaj fazę 1 $n$ razy, aż wszystkie $n$ oryginalnych prostokątów zostaną umieszczone i rozciągnięte. Na poniższym zdjęciu możliwa kolejność umieszczania prostokątów to $C_1,C_2,C_4,C_3$ :

Teraz $P$ jest wielokątem prostoliniowym (prawdopodobnie odłączonym), jak poniżej:

Twierdzę, że liczba wklęsłych wierzchołków w $P$ wynosi co najwyżej $2n$ . Dzieje się tak, ponieważ ilekroć rozciągnięty prostokąt zostanie usunięty z $P$ , istnieją 3 możliwości:

• Dodaje się 2 nowe wierzchołki wklęsłe (np. Podczas umieszczania $C_1,C_4$ );
• Dodano 3 nowe wklęsłe wierzchołki i 1 usunięto (podobnie jak przy pomocy $C_3$
• Dodano 4 nowe wklęsłe wierzchołki i 2 usunięto (jak w przypadku $C_2$ ).

$P$ na prostokąty równoległe do osi przy użyciu istniejącego algorytmu (przegląd: Keil 2000, strony 10-13 i Eppstein 2009, strony 3-5 ).

$2n+1$$N\leq 3n+1$

$N=13$$N=5$

A. Czy ten algorytm jest poprawny?

$N$