Najmniejsze wyrównane do osi pole zawierające

Dane wejściowe: zbiór punktów w i liczba całkowita . $n$ $\mathbb{R}^3$ $k \le n$

Dane wyjściowe: Najmniejsza obwiednia wyrównana do osi, która zawiera co najmniej tych punktów. $k$ $n$

Zastanawiam się, czy znane są algorytmy tego problemu. Najlepsze, co mogłem wymyślić, to czas , luźno jak następuje: brutalna siła we wszystkich możliwych górnych i dolnych granicach dla dwóch z trzech wymiarów; dla każdej z tych możliwości możemy rozwiązać odpowiednią wymiarową wersję problemu w czasie za pomocą algorytmu przesuwnego okna. $O(n^5)$ $O(n^4)$ $1$ $O(n)$

cg.comp-geom GMB
źródło

Nie możemy obliczyć tabelę rozmiarów

do liczby punktów

? Obliczanie liczby punktów i objętości można wykonać za pomocą stałej liczby operacji, a my możemy zastosować programowanie dynamiczne z tabelą wielkości

i powinniśmy być w stanie uzyskać algorytm

n^{3}

$n^3$

p

$p$

p . x < x, p . y < y, p . z < z

$p.x< x, p.y<y, p.z <z$

k n^{3}

$k n^3$

O (k n^{3})

$O(kn^3)$

Kaveh

k = Θ (n)

$k=\Theta(n)$

n^{5}

$n^5$

n^{6}

$n^6$

n^{5}

$n^5$

(1 - ϵ) k

$(1-\epsilon)k$

k

$k$

O (((n / k) / ϵ^{2} \log n)^{O (1)})

$O( ((n/k)/\epsilon^2 \log n)^{O(1)})$

k = Θ (n)

$k = \Theta(n)$

Odpowiedzi:

$n$ $O(n^3)$

$1/k$ $n/k$ $O((n/k)^3)$ $R$ $O(k^6 \log n)$ czasy. Z dużym prawdopodobieństwem jednym z wypróbowanych pól jest pudełko pożądane.

$O((n/k)^3 * k^6 * polylog n) = O(n^3 k^3 \log^{O(1)} n )$

$\frac{1}{k^6} ( 1-1/k)^{k-6} \approx 1/k^6 = p$ $O( (1/p) \log n)$

$\Theta(n^3)$

$O(n^3 \log^2 n)$

Sariel Har-Peled
źródło

k = Θ (n)

$k = \Theta(n)$

O (n^{3} k^{3})

$O(n^3 k^3)$

O (n^{6})

$O(n^6)$

k

$k$