Czy możliwe jest zbudowanie wyraźnej macierzy z , tak aby każda podmacierz zawiera mniej niż ?
Lub prawdopodobnie możliwe jest zbudowanie jawnego zestawu uderzeń dla takiej właściwości.
Łatwo zauważyć, że macierz losowa ma tę właściwość z prawdopodobieństwem wykładniczo bliskim . Również lemat mieszania ekspandera nie jest wystarczający do uzyskania tej właściwości.
Wydaje mi się, że generatory pseudolosowe, które mogą oszukać tutaj kombinatoryczne prostokąty, są jednak zaprojektowane dla jednolitych rozkładów i zasadniczo potrzebuję tutaj .
Odpowiedzi:
To, czego szukasz, to ekstraktor jednobitowy dla dwóch niezależnych źródeł: funkcja , tak że pod warunkiem, że X, Y są zmiennymi losowymi z min-entropią 0,499 * log (N), E (X, Y) jest prawie zrównoważony.E:[N]×[N]→{0,1}
To notorycznie trudny problem. Jeśli chodzi o parametry, które chcesz, wydaje mi się, że rozwiązał je Bourgain. Zobacz tutaj: http://www.cs.washington.edu/homes/anuprao/pubs/bourgain.pdf
źródło
Ta odpowiedź opiera się na pomyśle Dany w jej powyższej odpowiedzi.
Myślę, że można zbudować taką matrycę przy użyciu stratnych kondensatorów z dwóch źródeł. Napraw i powiedz N = 2 n . Załóżmy, że bezpośredniej funkcji f ( x , y ) , które wykonuje jakiekolwiek dwa niezależne źródła losowych ( X , Y ) , z których każdy o długości n i o min entropia najmniej k = n ( 1 / 2 - δ ) i generuje sekwencję z n ′ = n / 2δ=0.001 N=2n f(x,y) (X,Y) n k=n(1/2−δ) n′=n/2 Bity, które jest -Zamknij do rozkładu min entropii co najmniej k ' = n ( 1 / 2 - 3 δ ) . Myślę, że można użyć standardowych argumentów probabilistycznych, aby pokazać, że funkcja losowa spełnia te właściwości (z przytłaczającym prawdopodobieństwem), jeśli 2 k > k ′ + log ( 1 / ϵ ) + O ( 1 ) . Argument probabilistyczny powinien być podobny do tego, który zastosowano w poniższym artykule dla bezstratnych skraplaczy i bardziej ogólnych przewodników:ϵ k′=n(1/2−3δ) 2k>k′+log(1/ϵ)+O(1)
M. Capalbo, O. Reingold, S. Vadhan, A. Wigderson. Przewodniki losowości i ciągłe rozszerzanie poza barierę stopnia / 2
W naszym przypadku ustawiamy , więc jesteśmy pewni istnienia funkcji, której potrzebujemy. Teraz, opisany przedstawia argumentów uśredniania że istnieje n ' -bitowy ciąg z takich, że liczba ( x , y ), z F ( x , y ) = oo co najmniej 2 1,5 n . Załóżmy, że znasz takie z i napraw je (możesz wybrać dowolne zϵ=2−k′ n′ z (x,y) f(x,y)=z 21.5n z z jeśli dodatkowo wiesz, że twoja funkcja mapuje w pełni jednolity rozkład na rozkład, który jest -close na jednolity). Teraz zidentyfikuj wpisy swojej macierzy N × N według możliwości ( x , y ) i umieść 1 w pozycji ( x , y ) iff f ( x , y ) = z . Przez nasz wybór Z , to matryca zawiera co najmniej 2 1,5 NO(2−n/2) N×N (x,y) 1 (x,y) f(x,y)=z z 21.5n te.
Teraz weź dowolną submatrix i niech X , Y będą równomiernymi rozkładami odpowiednio na wybranych wierszach i kolumnach. Po wybraniu f wiemy, że f ( X , Y ) jest ϵ -bliskie do posiadania min-entropii k ′ . Dlatego jeśli wybieramy równomiernie losowy wpis submatrix, prawdopodobieństwo posiadania 1 wynosi co najwyżej 2 - k ′ + ϵ ≤ 2 - k ′ + 12k×2k X,Y f f(X,Y) ϵ k′ 1 2−k′+ϵ≤2−k′+1 . Oznacza to, że masz maksymalnie w submatrix, zgodnie z życzeniem.22k−k′+1=O(2n/2+δ)
Oczywiście wymyślenie wyraźnego pożądanymi parametrami (w szczególności prawie optymalną długością wyjściową) jest bardzo trudnym zadaniem i jak dotąd taka funkcja nie jest znana.f
źródło