Jawna zrównoważona macierz

20

Czy możliwe jest zbudowanie wyraźnej macierzy z , tak aby każda podmacierz zawiera mniej niż ?N×N 0/1N1.5N0.499×N0.499N0.501

Lub prawdopodobnie możliwe jest zbudowanie jawnego zestawu uderzeń dla takiej właściwości.

Łatwo zauważyć, że macierz losowa ma tę właściwość z prawdopodobieństwem wykładniczo bliskim . Również lemat mieszania ekspandera nie jest wystarczający do uzyskania tej właściwości.1

Wydaje mi się, że generatory pseudolosowe, które mogą oszukać tutaj kombinatoryczne prostokąty, są jednak zaprojektowane dla jednolitych rozkładów i zasadniczo potrzebuję tutaj .B(N2,N0.5)

ilyaraz
źródło
5
To interesujące pytanie: ciekawi mnie jednak motywacja.
Suresh Venkat,
@Suresh Pochodzi z ilościowej niemożności wyodrębnienia wzajemnej informacji. Jeśli jesteś zainteresowany, mogę rozwinąć.
ilyaraz
Tak naprawdę jestem. możesz napisz do mnie ([email protected]), jeśli jest to łatwiejsze.
Suresh Venkat,

Odpowiedzi:

11

To, czego szukasz, to ekstraktor jednobitowy dla dwóch niezależnych źródeł: funkcja , tak że pod warunkiem, że X, Y są zmiennymi losowymi z min-entropią 0,499 * log (N), E (X, Y) jest prawie zrównoważony.E:[N]×[N]{0,1}

To notorycznie trudny problem. Jeśli chodzi o parametry, które chcesz, wydaje mi się, że rozwiązał je Bourgain. Zobacz tutaj: http://www.cs.washington.edu/homes/anuprao/pubs/bourgain.pdf

Dana Moshkovitz
źródło
1
Bourgain podaje odchylenie dla niektórych α > 0 . Nie jestem pewien, że analiza może dać α = 1 / 2 . Gdybym był tobą, przestudiowałbym to i sprawdził. Możesz również zapytać Anup Rao, Zeev Dvir, Avi Wigderson lub dowolną inną osobę, która pracowała nad tym problemem. p=Nαα>0α=1/2
Dana Moshkovitz
7
@ilyaraz: Kiedy ty (lub ktokolwiek) dowiesz się, czy konstrukcja Bourgaina daje pożądaną matrycę, czy nie, udostępnij ją (chyba że masz coś przeciwko)!
Tsuyoshi Ito,
1
to było bardzo interesujące pytanie i odpowiedzi. Popieram prośbę Tsuyoshi.
Suresh Venkat,
2
Ponownie czytając pytanie i odpowiedź (już dawno ..), myślę, że nie zauważyłem, że pytający chciał tylko N ^ {1.5}, co odpowiada wyodrębnieniu bitu 1 z prawdopodobieństwem N ^ {-0.5}, a nie zrównoważony bit. Mimo to myślę, że odniesienie do ekstraktorów dwuwęglowych jest pomocne. Mogę sobie wyobrazić, że podobne techniki byłyby przydatne do ustawienia pytania.
Dana Moshkovitz
1
1) Jeśli ekstraktor wyprowadza k prawie jednolitych bitów, to w szczególności możesz otrzymać jeden bit, który ma wartość 1 z prawdopodobieństwem ~ 1/2 ^ k. 2) Jest to dość marnotrawstwo i brzmi dla mnie jak miłe pytanie badawcze, aby znaleźć bardziej wydajny sposób generowania takich bitów.
Dana Moshkovitz
2

Ta odpowiedź opiera się na pomyśle Dany w jej powyższej odpowiedzi.

Myślę, że można zbudować taką matrycę przy użyciu stratnych kondensatorów z dwóch źródeł. Napraw i powiedz N = 2 n . Załóżmy, że bezpośredniej funkcji f ( x , y ) , które wykonuje jakiekolwiek dwa niezależne źródła losowych ( X , Y ) , z których każdy o długości n i o min entropia najmniej k = n ( 1 / 2 - δ ) i generuje sekwencję z n = n / 2δ=0.001N=2nf(x,y)(X,Y)nk=n(1/2δ)n=n/2Bity, które jest -Zamknij do rozkładu min entropii co najmniej k ' = n ( 1 / 2 - 3 δ ) . Myślę, że można użyć standardowych argumentów probabilistycznych, aby pokazać, że funkcja losowa spełnia te właściwości (z przytłaczającym prawdopodobieństwem), jeśli 2 k > k + log ( 1 / ϵ ) + O ( 1 ) . Argument probabilistyczny powinien być podobny do tego, który zastosowano w poniższym artykule dla bezstratnych skraplaczy i bardziej ogólnych przewodników:ϵk=n(1/23δ)2k>k+log(1/ϵ)+O(1)

M. Capalbo, O. Reingold, S. Vadhan, A. Wigderson. Przewodniki losowości i ciągłe rozszerzanie poza barierę stopnia / 2

W naszym przypadku ustawiamy , więc jesteśmy pewni istnienia funkcji, której potrzebujemy. Teraz, opisany przedstawia argumentów uśredniania że istnieje n ' -bitowy ciąg z takich, że liczba ( x , y ), z F ( x , y ) = oo co najmniej 2 1,5 n . Załóżmy, że znasz takie z i napraw je (możesz wybrać dowolne zϵ=2knz(x,y)f(x,y)=z21.5nzzjeśli dodatkowo wiesz, że twoja funkcja mapuje w pełni jednolity rozkład na rozkład, który jest -close na jednolity). Teraz zidentyfikuj wpisy swojej macierzy N × N według możliwości ( x , y ) i umieść 1 w pozycji ( x , y ) iff f ( x , y ) = z . Przez nasz wybór Z , to matryca zawiera co najmniej 2 1,5 NO(2n/2)N×N(x,y)1(x,y)f(x,y)=zz21.5n te.

Teraz weź dowolną submatrix i niech X , Y będą równomiernymi rozkładami odpowiednio na wybranych wierszach i kolumnach. Po wybraniu f wiemy, że f ( X , Y ) jest ϵ -bliskie do posiadania min-entropii k . Dlatego jeśli wybieramy równomiernie losowy wpis submatrix, prawdopodobieństwo posiadania 1 wynosi co najwyżej 2 - k + ϵ 2 - k + 12k×2kX,Yff(X,Y)ϵk12k+ϵ2k+1. Oznacza to, że masz maksymalnie w submatrix, zgodnie z życzeniem.22kk+1=O(2n/2+δ)

Oczywiście wymyślenie wyraźnego pożądanymi parametrami (w szczególności prawie optymalną długością wyjściową) jest bardzo trudnym zadaniem i jak dotąd taka funkcja nie jest znana.f

MCH
źródło