Czy istnieje związek między normą diamentową a odległością stanów powiązanych?

W teorii informacji kwantowej odległość między dwoma kanałami kwantowymi jest często mierzona za pomocą normy diamentowej. Istnieje również wiele sposobów pomiaru odległości między dwoma stanami kwantowymi, takich jak odległość śladu, wierność itp. Izomorfizm Jamiołkowskiego zapewnia dualność między kanałami kwantowymi a stanami kwantowymi.

Jest to dla mnie interesujące, ponieważ norma diamentowa jest notorycznie trudna do obliczenia, a izomorfizm Jamiołkowskiego wydaje się sugerować pewną korelację między miarami odległości kanałów kwantowych a stanami kwantowymi. Moje pytanie brzmi zatem: czy istnieje jakaś znana zależność między odległością w normie diamentowej a odległością między powiązanymi stanami (w pewnym stopniu)?

quantum-computing it.information-theory quantum-information Joe Fitzsimons
źródło

Nie jestem pewien, co rozumiesz przez „normę diamentową”, która jest notorycznie trudna do obliczenia. Jeśli otrzymujesz kanał kwantowy jako wyraźną matrycę (powiedzmy jego reprezentację Choi-Jamiołkowskiego), można sformułować kwadrat jej normy diamentowej jako program półfinałowy; patrz sekcja 20.4 noty wykładowej Johna Watrousa . W tym sensie norma diamentowa ma skuteczny sposób na obliczenie.

Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Właśnie odnosiłem się do domyślnej optymalizacji. Nie miałem na myśli obliczeniowo trudnych, ale raczej niezręczna praca.

Joe Fitzsimons,

Nawiasem mówiąc, są to bardzo miłe notatki z wykładów.

Suresh Venkat

@Suresh @Tsuyoshi: Tak, są świetnymi notatkami, ale nie sądzę, żeby odpowiadały na to pytanie.

Joe Fitzsimons,

@TsuyoshiIto: z jakiegoś powodu ostatnia sekcja w slajdach QIP to 20.3, czy masz bardziej kompletne zestaw wykładów?

Artem Oboturov

Odpowiedzi:

Dla kanału kwantowa , zapiszmy do określenia stanu powiązanego: $\Phi$ $J(\Phi)$ Tutaj zakładamy, że kanał odwzorowuje(czylizłożonych matryc) doniezależnie od wyboru dodatnich liczb całkowitychichcesz. Macierz

J (Φ) = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} Φ (| i ⟩ ⟨ j |) \otimes | i ⟩ ⟨ j | .

$J(\Phi) = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} \Phi(|i \rangle \langle j|) \otimes |i \rangle \langle j|.$

M_{n} (C)

$M_n(\mathbb{C})$

n \times n

$n\times n$

M_{m} (C)

$M_m(\mathbb{C})$

n

$n$

m

$m$

J (Φ)

$J(\Phi)$ jest czasami nazywany macierzą Choi lub reprezentacją Choi-Jamiolkowskiego

, ale częściej te terminy są używane, gdy

Φ

$\Phi$

normalizacja jest pomijana.

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

$\Phi_0$ $\Phi_1$

‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} = sup_{ρ} ‖ (Φ_{0} \otimes {Id}_{k}) (ρ) - (Φ_{1} \otimes {Id}_{k}) (ρ) ‖_{1}

$\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = \sup_{\rho} \: \| (\Phi_0 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) - (\Phi_1 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) \|_1$

{Id}_{k}

$\operatorname{Id}_k$

M_{k} (C)

$M_k(\mathbb{C})$

‖ \cdot ‖_{1}

$\| \cdot \|_1$

k \geq 1

$k \geq 1$

ρ

$\rho$

M_{n k} (C) = M_{n} (C) \otimes M_{k} (C)

$M_{nk}(\mathbb{C}) = M_n(\mathbb{C}) \otimes M_{k}(\mathbb{C})$

k \leq n

$k\leq n$ i niektóre macierze gęstości rangi 1 .

ρ

$\rho$

(Zauważ, że powyższa definicja nie działa dla arbitralnych mapowań, tylko te w postaci dla map całkowicie pozytywnych i . W przypadku mapowania ogólnego supremum jest przejmowane przez wszystkie macierze z normą śledzenia 1, w przeciwieństwie do samych macierzy gęstości). $\Phi = \Phi_0 - \Phi_1$ $\Phi_0$ $\Phi_1$

Jeśli nie masz żadnych dodatkowych założeń dotyczących kanałów, nie możesz powiedzieć zbyt wiele o tym, jak te normy odnoszą się poza tymi grubymi granicami: W przypadku drugiej nierówności zasadniczo decyduje się na konkretny wybór zamiast podejmowania supremum nad wszystkimi

\frac{1}{n} ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} \leq ‖ J (Φ_{0}) - J (Φ_{1}) ‖_{1} \leq ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} .

$\frac{1}{n} \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} \leq \| J(\Phi_0) - J(\Phi_1) \|_1 \leq \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond}.$

ρ = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |

$\rho = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} |i \rangle \langle j| \otimes |i \rangle \langle j|$

ρ

$\rho$ . Pierwsza nierówność jest trudniejsza, ale byłoby rozsądnym pytaniem o zadanie dla absolwenta kursu informacji kwantowej. (W tym miejscu powinienem podziękować za twoje pytanie, ponieważ w pełni zamierzam użyć tego pytania w ofercie Fall of a my z teorii kwantowej informacji).

Możesz osiągnąć nierówność dla odpowiedniego wyboru kanałów i , nawet przy dodatkowym założeniu, że kanały są doskonale rozróżnialne (co oznacza ). $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = 2$

John Watrous
źródło

Dzięki, John, to doskonale odpowiada na moje pytanie i oszczędza mi dużo czasu.

Joe Fitzsimons,

Możesz także zajrzeć do Miary odległości, aby porównać rzeczywiste i idealne procesy kwantowe arXiv: quant-ph / 0408063, który daje przegląd miar odległości dla kanałów kwantowych i ich relacji.

Używają terminu S odległość dla odległości diamentu i odległość J dla odległości śledzenia operatorów Jamiołkowskiego powiązanych z kanałami.

Antonio Valerio Miceli-Barone
źródło

Lubię myśleć o pierwszej nierówności, którą napisał Watrous, jeśli chodzi o teleportację kanałów probabilistycznych. Jeśli interpretujesz normę diamentową jako miarę najmniejszego prawdopodobieństwa błędu w rozróżnianiu kanałów i , a normę śladową jako równoważnik ich stanów Jamiołkowskiego, zawsze możesz zaimplementować optymalną strategię dla kanałów z odpowiadających im stanów za pomocą $\Phi_0$ $\Phi_1$ prawdopodobieństwo sukcesu. Rygorystyczne określenie tego może być sposobem na udowodnienie nierówności. $\frac{1}n$

Również ten sposób myślenia pokazuje, że jeśli kanały można teleportować deterministycznie (np. Kanały Pauliego), to ich norma diamentowa jest równa odległości śladu Jamiołkowskiego.

Alex Monras
źródło