Standardowe reguły równań dla pustego typu to, jak się domyślacie, . Pomyśl o standardowym modelu teoretycznym, w którym zbiory są interpretowane według typów: typy sum są rozłącznymi związkami, a pusty typ jest pustym zbiorem. Tak więc dowolne dwie funkcje e , e ′ : Γ → 0 również muszą być równe, ponieważ mają wspólny wykres (mianowicie pusty wykres). .Γ⊢e=e′:0e,e′:Γ→0
Pusty typ nie ma reguł , ponieważ nie ma dla niego żadnych formularzy wprowadzających. Jedyną regułą równania jest reguła η . Jednak w zależności od tego, jak ściśle chcesz interpretować zasadę eta, możesz podzielić to na η plus konwersję dojazdów do pracy. Ścisłe η Regułę jest:βηηη
e=initial(e)
Coversion dojazdów do pracy to:
C[initial(e)]=initial(e)
EDYTOWAĆ:
Oto dlaczego dystrybucja w typie zerowym oznacza równość wszystkich map .A→0
Aby naprawić notację, napiszmy aby być unikalną mapą od 0 do A , i napiszmy e : A → 0, aby była mapą od A do 0 .!A:0→A0Ae:A→0A0
Teraz warunek dystrybucji mówi, że występuje izomorfizm . Ponieważ obiekty początkowe są unikalne aż do izomorfizmu, oznacza to, że A × 0 jest samym obiektem początkowym. Możemy teraz użyć tego, aby pokazać, że sam A jest obiektem początkowym.i:0≃A×0A×0A
Ponieważ jest obiektem początkowym, znamy mapy π 1 : A × 0 → A i ! A ∘ π 2 są równe.A×0π1:A×0→A!A∘π2
Teraz, aby pokazać, że jest obiektem początkowym, musimy pokazać izomorfizm między nim a 0 . Wybierzmy e : A → 0 i ! O : 0 → A jako składniki izomorfizmu. Chcemy pokazać, że
e ∘ ! A = i d 0 i ! ∘ e = I d A .A0e:A→0!A:0→Ae∘!A=id0!A∘e=idA
Pokazuje to jest natychmiastowe, ponieważ istnieje tylko jedna mapa typu 0 → 0 i wiemy, że zawsze istnieje mapa tożsamości.e∘!A=id00→0
Aby pokazać inny kierunek, zwróć uwagę
idA===π1∘(idA,e)!A∘π2∘(idA,e)!A∘eProduct equationsSince A×0 is initialProduct equations
Stąd mamy izomorfizm , a więc A jest obiektem początkowym. Dlatego mapy A → 0 są unikalne, więc jeśli masz e , e ′ : A → 0 , to e = e ′ .A≃0AA→0e,e′:A→0e=e′
EDYCJA 2: Okazuje się, że sytuacja jest ładniejsza niż początkowo myślałem. Nauczyłem się od Ulricha Bucholza, że jest oczywiste (w matematycznym znaczeniu „retrospektywnie oczywiste”), że każde biCCC ma charakter dystrybucyjny. Oto uroczy mały dowód:
Hom((A+B)×C,(A+B)×C)≃≃≃≃≃Hom((A+B)×C,(A+B)×C)Hom((A+B),C→(A+B)×C)Hom(A,C→(A+B)×C)×Hom(B,C→(A+B)×C)Hom(A×C,(A+B)×C)×Hom(B×C,(A+B)×C)Hom((A×C)+(B×C),(A+B)×C)
Równanie uchwyca tylko fakt, że ma najwyżej jeden element, więc nie sądzę, że Neel przechwytuje całą historię. Aksjatyzuję pusty typ w następujący sposób.e=e′:0 0 0
Brak zasad wprowadzania. Reguła eliminacji toRównanie to gdzie i . W całym jest dowolny typ. Równanie jest motywowane następująco: jeśli udało ci się sformułować termin wówczas jest zamieszkane przez , ale jest to absurd, więc wszystkie równania są ważne. Zatem innym sposobem osiągnięcia tego samego efektu byłoby równania
źródło