Czy trudno jest znaleźć optymalne łańcuchy dodatków?

Łańcuch dodatek jest ciągiem liczb naturalnych , gdzie x 1 = 1 , a każdy wskaźnik i ≥ 2 mamy x ı = x j + x k kilku wskaźników 1 ≤ j , k < i . Długość łańcucha addycji N ; docelowej sieci addycji $(x_1, x_2, \dots, x_n)$$x_1 = 1$$i\ge 2$$x_i = x_j + x_k$$1\le j,k < i$$n$ .$x_n$

Co wiadomo na temat złożoności następującego problemu: Biorąc pod uwagę liczbę całkowitą , jaka jest długość najkrótszego łańcucha dodawania, którego celem jest N ? Czy to trudne NP?$N$$N$

Wikipedia wskazuje na artykuł Downeya, Leonga i Sethiego z 1981 r., Który dowodzi, że następujący pokrewny problem jest trudny do NP: biorąc pod uwagę liczbę całkowitą, jaka jest minimalna długość łańcucha dodatków obejmującego cały zestaw? Kilku autorów najwyraźniej twierdzi, że ten dokument dowodzi, że problem z jednym celem jest trudny do NP, ale tak nie jest.

Problem jest wspomniany jako otwarty w pracy doktorskiej Erica Lehmana „Algorytmy aproksymacyjne do kompresji danych opartych na gramatyce” w 2002 r. Z p35 pracy:

„Niemniej jednak dokładne rozwiązanie problemu łańcucha addycyjnego pozostaje dziwnie nieuchwytne. Metoda M-ary działa w czasie polilogu (n) i daje przybliżenie 1 + o (1). Jednakże, nawet jeśli wykładniczo więcej czasu jest dozwolone, poli ( n) nie jest znany dokładny algorytm. ”

A w głównym artykule pracy Lehmana znajduje się dobry przegląd problemu (sekcja VB) z odniesieniami.

Chciałbym udokumentować pewne częściowe postępy - na pozór obiecujące - w kierunku algorytmu wielomianowego czasu. AKTUALIZACJA : Dodano pewne szczegóły dotyczące usterki wskazanej przez @David (dzięki!).

Podejście polega na zredukowaniu tego do wystąpienia CSP MIN-ONES EVEN-3 (MOEC), który okazuje się być rozwiązaniem problemu wielomianowego. Dowód redukcji jest trochę niewyraźny, ale mam nadzieję, że istnieje!

Instancja MOEC to rodzina -sized podzbiorów wszechświecie zmiennych i liczb całkowitych k . Pytanie brzmi, czy istnieje zadowalające przypisanie wagi co najwyżej k , gdzie przypisanie jest funkcją wszechświata do { 0 , 1 } , waga przypisania jest liczbą zmiennych, które przypisuje jednej, a przypisanie jest spełniające, jeśli dla każdego podzbioru zmiennych { x , y , z } przypisanie (powiedzmy f ) ma właściwość, która:$3$$k$$k$$\{0,1\}$$\{x,y,z\}$$f$

.$f(x) + f(y) + f(z) = 0 (mod ~~2)$

Możesz to sobie wyobrazić jako 3-SAT z innym pojęciem satysfakcji - wybierz brak lub wybierz dwa. Będę trochę rozluźniony w związku z wystąpieniem MOEC, ponieważ pozwolę, oprócz zwykłych podzbiorów, implikacji, rozbieżności długości drugiej i ograniczenia ( x = 1 ) . Wierzę, że te proste dodatki utrzymają problem wielomianowy czas.$3$$(x = 1)$

Powiedzmy, że zmniejszamy problem łańcucha dodatków dla liczby . Zmienna ustawiona dla tej redukcji jest następująca:$n$

Dla każdego zmienna N i . I ponownie zapisu zmiennej N n a N . Dla każdej pary i , j takiej, że 1 ≤ i , j ≤ k , wprowadź zmienne P i j i Q i j . $1 \leq i \leq n$$N_i$$N_n$$N$$i,j$$1 \leq i,j \leq k$$P_{ij}$$Q_{ij}$

Wprowadź następujące podzbiory dla każdego tak aby k = i + j :$i,j,k$$k = i+j$

$\{P_{ij}, Q_{ij}, N_k \}$

i następujące implikacje:

i P i j ⇒ N $P_{ij} \Rightarrow N_i$$P_{ij} \Rightarrow N_j$

oraz następujące ograniczenia:

.$(N_1 = 1), (N = 1)$

Wreszcie, musimy dodać ograniczenia, które zapewnią, że przynajmniej jedna z zmiennych zostanie wybrana, gdy przypisana zostanie „odpowiadająca” zmienna N (wybacz nadużycie notacji). Można tego dokonać dodając zwykłe ograniczenie OR do wszystkich P i j, tak że i + j sumuje się do danej zmiennej N. Musimy jednak znaleźć sposób na ponowne zakodowanie tego w ramach MOEC.$P$$N$$P_{ij}$$i + j$$N$

Pozwólcie, że nakreślę ogólny sposób powiedzenia, biorąc pod uwagę zestaw zmiennych:

,$(X, l_1, l_2, \ldots, l_t)$

jak ograniczenie „jeśli przypisanie jest satysfakcjonujące i zestawy do jednego, a następnie dokładnie z L I „s musi być ustawiony na jeden przez przypisanie”mogą być kodowane ze składnią MOEC. Pamiętaj, że wystarczy to dla naszych wymagań, po prostu wprowadzamy ograniczenia:$X$$l_i$

.$(N_k, \{ P_{ij} ~|~ i + j = k \})$

Kodowanie odbywa się w następujący sposób. Niech będzie ukorzenionym kompletnym drzewem binarnym na t liściach. Wprowadzenie nowej zmiennej T d ı dla wszystkich 1 ≤ d ≤ log t i 1 ≤ i ≤ l ( d ) , w których L ( d ) oznacza liczbę węzłów T X na głębokości d .$T_X$$t$$T_{di}$$1 \leq d \leq \log t$$1 \leq i \leq {\cal L}(d)$${\cal L}(d)$$T_X$$d$

Dla każdego węzła , jeżeli p i q będą jego potomkami w drzewie, wprowadź ograniczenie EVEN-3:$T_{di}$$p$$q$

$\{T_{di},p,q\}$

Oznacza to, że jeśli zmienna odpowiadająca węzłowi jest ustawiona na true, wówczas dokładnie jedno z jej potomków również musi być ustawione na true. Teraz dodaj implikacje:

i ( d log t , j ) ⇒ l j (przecinek dla przejrzystości).$(X \Rightarrow T_{11})$$(d_{\log t,j}) \Rightarrow l_j$

Ta kombinacja ograniczeń EVEN-3 i implikacji jest równoważna ograniczeniom, które chcieliśmy zakodować.

$N_i$$N$$N$$P_{ij}$$N_i$$N_j$$P_{ij}$$(r,s)$$(r',s')$$P$$Q$$N_i$$P_{ij}$

$f$$f$$N_i$$N_i$$k$$N_k$$i_k,j_k$$i_k + j_k = j$$f$$P_{i_k j_k}$$Q_{i_k j_k}$$(i,j)$$i \neq i_k$$j \neq j_k$$i+j = k$$f$$Q_{ij}$$P_{ij}$$k$$i,j$$i+j = k$$Q_{ij}$$P_{ij}$$N_i$$(i,j)$

$t$$t$$Q$$x$$x$i tak powstaje w dłuższym łańcuchu, a pozostałe wypadają korzystnie. Muszę to jednak dokładnie zanotować i być może widzę rzeczy z syndromu po północy!