Pochodna przepływu i czasu?

Jeśli jest składnik w czasie , konsumpcji w czasie , a stopę procentową, a następnie jest przepływ . Ale wydaje się, że w makroekonomii ludzie po prostu piszą zamiast ustawiania ciągłego czasu. Nie widzę przejścia od do w ogóle. Mogę to uzasadnić w niektórych szczególnych przypadkach. Na przykład, jeśli dla jakiegoś , wszystkie , to$a_{t}$$t$$c_{t}$$t$$r$$a_{t+1} - a_{t} = ra_{t} - c_{t}$$a$$\dot{a}_{t} = ra_{t}-c_{t}$$a_{t+1}-a_{t}$$\dot{a}_{t}$$a_{t+1}-a_{t} = r$$r$$t$$a_{t+h}-a_{t} = hr$, więc przekroczenie ilorazu różnicy prowadzi nas do . Zależy to jednak od faktu, że prawostronny termin jest liniowy .$\dot{a}_{t} = r$$t$

Nie jestem pewien, w jaki sposób ekonomiści radzą sobie z przejściem od czasu ciągłego do czasu dyskretnego. Moje doświadczenie dotyczy inżynierii systemów / matematyki stosowanej, a literatura ekonomiczna, którą znam, to czas dyskretny lub ciągły. Niestety nie mam dobrych referencji na temat konwersji z dyskretnego na ciągły czas z literatury inżynierii systemów (pozbyłem się podręczników).

Kluczem w tym przypadku jest to, że współczynnik „a” w tych systemach niekoniecznie odpowiada tej samej liczbie. Musimy to dostosować, aby zachowanie się zgadzało.

Jeśli przechodzimy od czasu ciągłego do czasu dyskretnego, skutecznie próbkujemy system czasu ciągłego. Częstotliwość próbkowania w sprawach.

Łatwo to zobaczyć. Wyobraź sobie, że zmienna ciągła rośnie o 1% w ciągu sześciu miesięcy. Jeśli dyskretny krok czasowy wynosi sześć miesięcy, zmienna rośnie o 1,01 każdego okresu. Jeśli jednak nasza próbka jest roczna, otrzymujemy krok wzrostu przejścia na okres. Zasadniczo wzór na konwersję współczynnika wzrostu jest podobny do zmieniającej się konwencji wyceny stóp procentowych z ciągłego łączenia na ekwiwalent rentowności obligacji.$(1.01)^2$

Chociaż stale rosnąca zmienna (jak depozyt uzupełniający) jest stosunkowo prosta, coś w rodzaju szeregów konsumpcyjnych jest trudniejsze do określenia. Jeśli chcemy, aby czas dyskretny odpowiadał próbkowanym wartościom wersji z czasem ciągłym, musimy w pewien sposób określić dynamikę czasu ciągłego. Czy jest stały w przedziale czasowym, czy też rośnie w sposób wykładniczy (co miałoby miejsce, gdyby była endogenną zmienną w modelu liniowym)?

Przejście od czasu dyskretnego do ciągłego jest bardziej niewygodne. Ciągły system czasu zawiera znacznie więcej informacji niż dyskretny system czasu. Istnieje nieskończona liczba ciągłych systemów czasu, które mogą generować ten sam dyskretny system czasu. Potrzebujemy machanizmu, aby określić dynamikę ciągłej wersji czasowej, ale decyzję można uznać za arbitralną. Jest to temat, który nie jest szczegółowo badany w inżynierii systemów, ponieważ systemy fizyczne już działają naprawdę w sposób ciągły.

Prosty przykład ekonomiczny utraty informacji jest następujący. Wyobraź sobie, że mamy częstotliwość modeli kwartalnych, ale gospodarstwo domowe otrzymuje przepływy pieniężne w pewnym momencie kwartału. Codziennie odsetki (jak depozyt bankowy). Ostateczna kwota przechowywana na koniec kwartału zależy od długości okresu utrzymywania, który może wynosić od 0 do 3 miesięcy. Ponieważ model czasu dyskretnego nie ma pojęcia czasów pomiędzy kwartalnymi okresami próbkowania, nie ma możliwości modelowania tego efektu czasowego, który jest właściwością ciągłego modelu czasu. Oznacza to, że dyskretny model czasu będzie prawdopodobnie przybliżał jedynie model czasu ciągłego.