Aukcja za wszelką cenę Mieszana strategia równowagi

Obecnie mam trudności z tym ćwiczeniem. Profesor Nash ogłasza, że wystawi na aukcję rachunek za 20 dolarów w konkursie między dwoma losowo wybranymi studentami. Każdy uczeń musi prywatnie złożyć ofertę na kartce papieru; ten, kto złoży najwyższą ofertę, wygrywa rachunek za 20 dolarów. W przypadku remisu każdy uczeń otrzymuje 10 dolarów. Aukcja jest odpłatna: każdy uczeń musi zapłacić swoją ofertę niezależnie od tego, kto wygra aukcję.

TUTAJ to pytanie

Załóżmy, że każdy uczeń może pożyczyć pieniądze od innych uczniów w klasie, aby każdy z nich miał łącznie 11 USD do licytacji. Znajdź równowagę Nasha w tym przypadku? Wiem, że muszę znaleźć równowagę nasha o mieszanej strategii, ale nie rozumiem, jak nie mogę jej obliczyć.

Dzięki

game-theory nash-equilibrium auctions Mathilde
źródło

Pytanie jest niekompletne. Potrzebujesz rozkładu prawdopodobieństwa w zakresie wartości prywatnych, aby obliczyć dokładną, liczbową odpowiedź.

superhulk,

Nie potrzebujesz rozkładu prawdopodobieństwa. Pytanie jest w porządku, jak jest.

Lee Sin,

Może zacznij od przyjrzenia się konkretnym przypadkom. Co się stanie, gdy oboje będą mieli oferty za 20 dolarów? 10? 0? Co dzieje się, gdy jeden ma 10 lat, a drugi 20 lat? Zacznij to mapować. W międzyczasie: youtube.com/watch?v=1IAsV31ru4Y Mam nadzieję, że da ci to pewien wgląd.

Lee Sin,

@LeeSin Zatem jak znaleźć strategię ustalania stawek dla aukcji?

superhulk,

O ile mi wiadomo strategia licytacji dla aukcji All Pay wynosi

, gdzie

jest wyceną realizowaną przez licytującego, a

jest funkcją gęstości najwyższa uporządkowane dane statystyczne między

i wszystkie RV

β^{A P} = \int_{0}^{x} y g (y) d y

$\beta^{AP} = \int_0^x yg(y)dy$

x

$x$

g (y)

$g(y)$

X_{2}, X_{3}, . . ., X_{n}

$X_2 , X_3 , ... , X_n$

mają ten sam rozkład.

X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . ., X_{n}

$X_1 , X_2 , X_3 , ... , X_n$

superhulk,

Odpowiedzi:

W odpowiedzi na nasze zasady dotyczące zadań domowych , popracuję nad następującą abstrakcyjną wersją twojego pytania:

Pojedyncza nagroda zostanie przyznana w ramach aukcji typu all-pay. Załóżmy, że wartość nagrody wynosi 1 dla obu oferentów i jest to powszechnie znana. Obaj licytujący mają ograniczenie budżetowe $m$ . W przypadku remisu każdy licytujący otrzymuje nagrodę za $\frac{1}{2}$ prawdopodobieństwo. Znajdź równowagę Nasha w tej grze.

W tej grze skupimy się na symetrycznej równowadze, tzn. Obaj licytujący stosują tę samą strategię równowagi. Zanim zaczniemy, wykonajmy dwie obserwacje:

Zastrzeżenie 1 : Ilekroć w strategii równowagi znajduje się punkt masy (tj. Istnieje pozytywne prawdopodobieństwo złożenia jednej oferty), masę tę należy umieścić na górnej granicy $m$ . Jeśli nie, jeden oferent może zawsze przejść do nieco wyższej oferty i uzyskać wyższą nadwyżkę.

$(0,t)$ $t$ $b\in(0,t)$

Expected payoffs = t \cdot \frac{b}{t} \cdot 1 - b = 0.

$\text{Expected payoffs}=t\cdot \frac{b}{t}\cdot 1-b=0.$

t \cdot Uniform (0, t) + (1 - t) \cdot δ_{m} .

$t\cdot \text{Uniform}(0,t)+(1-t)\cdot\delta_m.$

t

$t$

(0, t)

$(0,t)$

m

$m$

t

$t$

b \in (0, t) \cup {m}

$b\in(0,t)\cup\{m\}$

m

$m$

t \cdot 1 + (1 - t) \cdot \frac{1}{2)} - m = 0,

$t\cdot 1+(1-t)\cdot\frac{1}{2}-m=0,$

t = 2 m - 1

$t=2m-1$

2 m > 1

$2m>1$

(2) m - 1) \cdot Mundur (0, 2) m - 1) + (2) - 2) m) \cdot δ_{m} .

$(2m-1)\cdot \text{Uniform}(0,2m-1)+(2-2m)\cdot\delta_m.$

Jak odwzorowuje pierwotny problem? Wierzę, że OP może wziąć to stąd.

Ziwei Wang
źródło