Znajdź optymalne funkcje popytu na kapitał i pracę dla tej firmy

Próbuję rozwiązać to pytanie, które brzmi:

Załóżmy, że producent maksymalizujący zysk ma funkcję produkcji opisaną przez Q = K ^ 3/4 L ^ 1/4 i jest skierowany w stronę ogólnej linii izocostu (TC = rK + wL).

Znajdź optymalne funkcje popytu na kapitał i pracę dla tej firmy.

Oto co zrobiłem i wiem:

Rozwiązałem dla MP1 (praca) i MP2 (kapitał): MP1 = 1/4 (K ^ 3/4 * L ^ -3 / 4) MP2 = 3/4 (K ^ -1 / 4 * L ^ 1/4)

Wiem też, że MP1 / MP2 = w / r.

Czy ktoś może wskazać sugestię rozwiązania dla K i L optymalnych funkcji popytu?

Dzięki

Myślę, że możesz potrzebować więcej informacji, aby znaleźć wyrażenie na L (lub K). Z tego, co mamy, wiemy, że MP1 / MP2 = w / r, a to pozwala nam powiedzieć K = aL. Teraz patrzymy na nasz zysk, rzecz, którą chcemy zmaksymalizować. Podstawiając K = aL do Q - TC, otrzymujemy L (pb - 4w), gdzie$b = pa^{3/4}$, a p jest ceną. Tak długo, jak p> 4r / 3, możemy zwiększyć zysk na zawsze, zwiększając L, o ile zwiększamy K proporcjonalnie. Zakłada się, że p jest stałe, a siła robocza i kapitał są nieskończenie dostępne przy r i w. Stąd pochodzi nasze ograniczenie. (O ile nie otrzymamy po prostu stałej wartości Q, w takim przypadku rozwiązujemy z K = aL.) Jeśli mamy krzywą popytu i jesteśmy jedynym dostawcą, zwiększamy L i K, aż Q stanie się takie, że p = 4r / 3 lub zatrudniamy ludzi, dopóki nie będziemy mogli uzyskać jednostek kapitału AL, lub zwiększamy K, dopóki nie możemy uzyskać jednostek pracy K / a. Jeśli nie jesteśmy jedynym dostawcą, gramy w grę z innymi dostawcami i naprawiamy Q sami. Ale nie sądzę, że możemy zmaksymalizować zysk bez tych dodatkowych informacji,

Zdecydowane requieres kapitału i pracy w celu uzyskania końcowego dobrą . Jest to technologia Cobba-Douglasa typu , tutaj . Oznacz rentę kapitałową przez a wynagrodzenie pracownika przez . Koszty produkcji są następnie podawane przez . Zamiast maksymalizować zyski, firma chce zminimalizować koszty, aby wyprodukować daną ilość (spójrz na dwoistość problemów w teorii producenta). Kończymy z następującym programem $K\in\mathbb{R}_+$$L\in\mathbb{R}_+$$Q$$Q:(K,L)\mapsto K^{\alpha}L^{1-\alpha}$$\alpha=0.75$$r$$w$$C:(K,L)\mapsto rK+wL$$\bar{Q}>0$$\min-\max$

$$\begin{align} \min_{K,L}~C(K,L)\quad\text{s.t.}~~Q(K,L)\geq\bar{Q}. \end{align}$$
Co to jest Skonfiguruj lagragian Pamiętaj, że ograniczenie jest wiążące (dlaczego? Spójrz też na to!) FOC są podawane przez rozwiązać przez i . $$\begin{align} \min_{K,L}~(rK+wL)\quad\text{s.t.}~~K^{.75}L^{.25}\geq\bar{Q}. \end{align}$$ $$\begin{align} \mathcal{L}=rK+wL+\lambda(\bar{Q}-K^{.75}L^{.25}). \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K}=0\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L}=0\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\lambda}=0 \end{align}$$ $K$$L$