Jakie są preferencje translogu? Artykuł w Wikipedii wyjaśnia tylko, że oznacza transcendentalne preferencje logarytmiczne i że są one uogólnieniem preferencji Cobba-Douglasa.

Czy mają specjalne funkcje, które sprawiają, że jest to bardziej atrakcyjne? Nigdy nie widziałem, aby były one wykorzystywane w makroekonomii.

Funkcja translog może być używana nie tylko w preferencjach, ale także w funkcjach produkcyjnych i kosztowych. Nie jestem zbyt dobrze zaznajomiony z jego implikacjami dla teorii konsumentów, ale z punktu widzenia produkcji widziałem, że jest ona powszechnie stosowana.

Funkcja Translog nie narzuca addytywności i jednorodności, a zatem stałej elastyczności podstawienia. Jest to interesujące, ponieważ nie wymaga „płynnego” zastępowania danych wejściowych (w analizie produkcji). Myślę, że w teorii konsumentów interpretacja byłaby podobna.

Zasadniczo funkcja translogu jest mniej restrykcyjna niż cobb-douglas. Jeśli nałożysz pewne ograniczenia podczas obliczania parametrów funkcji translog, otrzymasz funkcję cobb-douglas. Dlatego jest to „uogólnienie”. Innymi słowy, cobb-douglas jest szczególnym przypadkiem funkcji Translog narzucającej addytywność i jednorodność (tj. Narzucającą stałą elastyczność podstawienia).

Edycja: dodałem więcej informacji, aby odpowiedzieć na twój komentarz.

Myślę, że druga odpowiedź jest bardziej kompletna niż moja. Ale zamierzam tylko dodać coś, co uważam za przydatne, aby mieć szersze zrozumienie. Zakładam, że znasz krzywe obojętności. Odsyłam cię do tej strony (skąd wziąłem wykresy), na wypadek, gdybyś nie.

Krzywa obojętności to po prostu odwzorowanie wszystkich kombinacji dwóch (lub więcej) towarów, które zapewniają tę samą użyteczność lub „sprawiają, że jesteś szczęśliwy na tym samym poziomie”.

Najpierw zobacz tę krzywą obojętności:

Ryc. 1: źródło

To ustawienie jest znane jako „uzupełnienia”. Ponieważ, jak widać, dodanie tysiąca jednostek dobrego x (który przesuwa się w prawo), bez dodania dobrego y (to nie jest ruch w górę) nie czyni cię szczęśliwszym: poruszasz się wzdłuż krzywej obojętności. Pomyśl o tym jak o lewym bucie i prawym bucie. Nie ma sensu mieć tysiąca dodatkowych lewych butów bez dodawania prawego buta, ponieważ są one idealnym uzupełnieniem .

Teraz spójrz na to: Ryc. 2: źródło

Ten nazywa się „substytutami”. Jest to odwrotny przypadek do uzupełnień. Możesz myśleć o tym jak o wołowinie i kurczaku. Możesz gotować używając wyłącznie wołowiny lub możesz zastąpić i gotować używając tylko kurczaka. Ale możesz też gotować z pewną kombinacją, powiedzmy 150 gramów wołowiny i 100 gramów kurczaka, ponieważ są one idealnymi substytutami (przepraszam, nie mogłem wymyślić lepszego przykładu, ale ten ma sens).

Teraz te ekstremalne przypadki ułatwiają wyobrazenie sobie wszystkich ustawień, które są „w środku”. Oznacza to, że dwa rodzaje towarów, które nie są doskonałe, nie uzupełniają ani doskonałych substytutów. Pomyśl o jedzeniu i napojach. Nie mogą być idealnymi substytutami, ponieważ nie można mieć dużo jedzenia bez napojów. Nie są też doskonałym uzupełnieniem, ponieważ mieszanie jedzenia i napojów nie jest ustalone. Dla tego ustawienia cobb-douglas może być dobrym przybliżeniem, co widać na następnym rysunku:

Ryc. 3: źródło

Teraz funkcja użyteczności Cobba-Douglasa nie rozwiązuje wszystkiego, ponieważ nakłada pewne ograniczenia konstrukcyjne. Na przykład linia, która idzie od początku na wszystkich krzywych (ścieżkę rozprężania) wynosi 45 °, a prosty konstrukcyjnie : nie może być zmieniona. Oznacza to, że w miarę wzbogacania się (nawet niesłychanie bogatego) preferencje dotyczące tych towarów pozostają niezmienne. Formalna nazwa to homotetyczność lub homotetyczne preferencje . Jest to empirycznie nieprawdziwe, ponieważ wykazano, że im bogatszy jesteś, zużywasz mniejszą część swojego dochodu na jedzenie. Przy preferencjach Cobba-Douglasa tak się nie stanie. Preferencje Translog rozluźniają to założenie.

Na następnym rysunku masz mapę narzędzi relaksującą założenie homotetyczności:

Ryc. 4: źródło

Pomyśl o tym wykresie jako dobry y będącego jedzenie i dobra x będącego rozrywki. W miarę wzbogacania się (lub oddalania od źródła) przeznaczasz więcej dochodów na rozrywkę.

Na koniec powiem o elastyczności podstawienia, która jest znana jako (sigma), którą można sobie wyobrazić jako krzywiznę krzywej obojętności. Na ryc. 1 idealne uzupełnienie : Brak krzywizny. W idealnych zamiennikach : linia straigta. W Cobb-Douglas : niewielka krzywizna. Niemniej jednak, gdy stajesz się bogatszy (odległy od źródła), ta elastyczność podstawienia pozostaje stała w trzech ustawieniach. Nawet w niehomotycznych preferencjach pokazanych na ryc. 4 elastyczność podstawienia pozostaje stała. Są to preferencje ** Stała elastyczność zamiany (CES) **. Ale co, jeśli pozwolisz, aby krzywa przybierała różne kształty w miarę wzbogacania się? Spójrz na ryc. 5:$\sigma$$\sigma = 0$$\sigma = infinity$$\sigma = 1$

źródło

W tym przykładzie krzywe obojętności stają się mniej elastyczne za każdym razem. Dlatego nie są to preferencje CES. Zaletą preferencji Translog jest to, że ponieważ nie narzucasz ani CES, ani homotetyczności, możesz przetestować tę hipotezę na podstawie zaobserwowanych danych. Widać, że funkcja narzędzia Translog jest znacznie mniej restrykcyjna niż preferencje Cobba-Douglasa.

Na koniec chciałbym powiedzieć, że może się zdarzyć, że nie odrzucisz hipotezy homotetyczności, CES i w zbiorze danych o obserwowanym zachowaniu. To pozostawiłoby cię w ustawieniach preferencji Cobba-Douglasa. Korzystając z Translog niekoniecznie wykluczasz Cobba-Douglasa.$\sigma = 1$

W
Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS i Solow, RM (1961). Zastępowanie kapitału i pracy oraz efektywność ekonomiczna. Przegląd ekonomii i statystyki, 225–250.

autorzy wprowadzili funkcję CES w celu uogólnienia funkcji produkcji Cobba-Douglasa w odniesieniu do elastyczności parametru podstawienia, która w przypadku CES nie jest ograniczona do równości jedności, jak ma to miejsce w przypadku CD. Ale jest stały w całej przestrzeni wejściowej.

12 lat później Christensen, LR, Jorgenson, DW i Lau, LJ (1973). Transcendentalne logarytmiczne granice produkcji. Przegląd ekonomii i statystyki, 28–45.

wprowadził specyfikację „ translog ”, pisząc we wstępie (pogrubienie moje podkreślenie),

„... klasa możliwości produkcyjnych, które są jednorodne i addytywne ... pokrywają się z klasą granic o stałej elastyczności zastępowania ... Dla więcej niż jednego produktu lub więcej niż dwóch czynników produkcji , stałość elastyczności substytucja i transformacja są bardzo restrykcyjne ... Naszym podejściem jest reprezentowanie granicy produkcji za pomocą funkcji, które są kwadratowe w logarytmach ilości wejść i wyjść. Funkcje te zapewniają lokalne przybliżenie drugiego rzędu do dowolnej granicy produkcji ... "

i później

„Naszym celem jest opracowanie testów teorii produkcji, które nie wykorzystują addytywności i jednorodności w ramach podtrzymywanej hipotezy ”.

Zwróć uwagę, że przez „jednorodność” autorzy wyjaśniają, że mają na myśli jednorodność stopnia pierwszego (tj. „Stały powrót do skali”), podczas gdy właściwie i matematycznie funkcja jednorodna może mieć dowolny stopień jednorodności.

Christensen i in. należy zauważyć, że „addytywność” w ich podejściu jest równoważna koncepcji „silnej separowalności” w kontekście użyteczności.

W kontekście użyteczności „produkcja globalna” oznacza jedną możliwość, aw makroekonomii dominujące podejście ma tylko jeden wkład (zużycie). W takich ramach korzystanie z translogu nie ma sensu.

W przypadku, gdy chcemy modelować także wybór czasu wolnego i robimy funkcję użyteczną, zmienną dwuwymiarową, wówczas w specyfikacji teoretycznej przeważnie stosujemy rozdzielne preferencje .

Specyfikacja translog ma bardziej charakter empiryczny. Szacując specyfikację translog, uzyskuje się oszacowania współczynników, które można wykorzystać do testowania, czy addytywność i jednorodność zachowuje się w danych, podczas gdy w funkcjach CD i CES tych właściwości nie można przetestować. Kolejną zaletą jest to, że specyfikacja translogu jest odpowiednia dla sytuacji wielu wejść / wyjść.

Jorgenson i Lau postanowili zastosować funkcję translogu w kontekście Utility w Jorgenson, Dale W. i Lawrence J. Lau. (1975), „Struktura preferencji konsumenckich”. Annals of Economic and Social Measurement, tom 4, nr 1. NBER, 1975. 49-101.

Piszą

„Stosując bezpośrednie i pośrednie funkcje narzędzia translog ze zmiennymi w czasie preferencjami, możemy testować ograniczenia addytywności, homotetyczności i stacjonarności zamiast utrzymywać te ograniczenia preferencji jako część naszego modelu ekonometrycznego”.