Jaka jest funkcja serii Fouriera?

18

Co to jest seria Fouriera? Do czego służy?

zimno
źródło

Odpowiedzi:

11

Seria Fouriera:

V.t=za02)+ja=1[zajasjan(jaω0t)+bjadoos(jaω0t)]

Termin jest stałą, to jest poziom DC. Mógłby być również napisany bez dzielenia przez dwa, ale taka jest konwencja. Warunki nieskończonej sumy są sumą ważonego sinusa i ważonego cosinusa o tej samej częstotliwości. Jeśli narysujesz je jako fazory w złożonej płaszczyźnie Arganda, zobaczysz, że wynik jest znowu sinusoidalny, ale o innej amplitudzie i przesunięciu fazowym. Dlatego równanie można również zapisać jako za02)

V.t=za02)+ja=1[zajasjan(jaω0t+ϕja)]

Mamy więc sumę sinusów, wszystkie wielokrotne częstotliwości częstotliwości podstawowej , każda z nich ma własną amplitudę i fazę. ω0

Fourier udowodnił, że w ten sposób można opisać każdą powtarzalną funkcję. Czasami seria jest nieskończona, czasem ma skończoną liczbę terminów. Czasami brakuje terminów, co oznacza, że ​​ich amplituda wynosi zero.

Jedną z najbardziej znanych serii Fouriera jest fala prostokątna:

V.t=ja=1[sjan((2)ja-1)ω0t)2)ja-1]

lub rozszerzone:

Vt=sin(ω0t)+13sin(3ω0t)+15sin(5ω0t)+17sin(7ω0t)+...

To jest taka seria z brakującymi terminami: fala prostokątna nie ma nawet harmonicznych. Poniższy obraz pokazuje, jak to wygląda w dziedzinie czasu:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Górny rysunek pokazuje sumę pierwszych dwóch składników, a następnie trzeciego, a na dole dodaje się czwarty składnik. Każdy dodany element przybliża kształt fali do fali prostokątnej i będziesz potrzebować granicy szeregu do nieskończoności, aby uzyskać idealną falę kwadratową.

Czasami trudno jest zobaczyć w nim podstawowy sinus. Weźmy na przykład sumę sinusa 3 Hz i sinusa 4 Hz. Powstały kształt fali będzie powtarzany co sekundę, czyli 1 Hz. 1 Hz jest podstawą, nawet jeśli jego amplituda wynosi zero. Serię można zapisać jako

V.t=0sjan(ω0t)+0sjan(2)ω0t)+sjan(3)ω0t)+sjan(4ω0t)

Wszystkie poniższe terminy mają również zerową amplitudę.

stevenvh
źródło
W równaniu w tej odpowiedzi brakuje wielu . t
Dilip Sarwate
@Dilip - Ups, prawo. Naprawiony.
stevenvh
4

Każdy możliwy do zrealizowania sygnał analogowy, wszystko, co można wymyślić lub narysować zgodnie z prawem na wykresie napięcia w funkcji czasu, może być wyrażone matematycznie jako suma nieskończonej liczby fal sinusoidalnych o różnych częstotliwościach - coś w tej formie:

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

Różne sygnały są tworzone poprzez zmianę wartości A, B, Citp, a f1, f2i innych.

Kiedy ktoś odnosi się do szeregu Fouriera, odnosi się do wyrażania kształtu fali jako szeregu operacji dodawania, takich jak powyżej.

Realistycznie każdy sygnał analogowy ma SOME zawartość na każdej częstotliwości - nawet jeśli amplituda wynosi .1e-67, nadal tam jest. Idealnie tak nie jest - jeśli zbuduję czystą falę kwadratową, to wiem na pewno, że składa się TYLKO z częstotliwości, które są nieparzystą wielokrotnością jej okresu. Tak więc fala prostokątna 1 Hz jest sumą fali sinusoidalnej 1 Hz plus fali sinusoidalnej 3 Hz i tak dalej w dół linii. W przypadku innych dobrze znanych kształtów fali, takich jak fale trójkątne i pochylnie, ludzie wykonali obliczenia dotyczące obecnych częstotliwości i zawartości.

AngryEE
źródło
3
nie całkiem żaden sygnał analogowy, sygnał musi mieć charakter okresowy (lub musisz ograniczyć analizę do części sygnału, która jest okresowa). Nie ograniczacie się również do sygnałów analogowych i wyobrażam sobie, że większość dzisiejszych transformacji Fouriera jest wykonywana na próbkowanych (dyskretnych) danych, to znaczy wykonywana jest DFT, a nie „normalna” transformata Fouriera.
Mark
4
Możesz wziąć transformatę Fouriera sygnału nieokresowego - ale gdy transformata Fouriera sygnału okresowego składa się tylko z dyskretnych wielokrotności częstotliwości podstawowej, transformata Fouriera sygnału przejściowego jest ciągła w dziedzinie częstotliwości - wszystkie częstotliwości mają pewną zawartość .
AngryEE
1
Myślę, że starał się po prostu przeanalizować okresowy sygnał, który obliczasz jego szereg Fouriera, ale ogólna transformacja Fouriera obsługuje każdy sygnał. OP pytał o serie Fouriera. Tylko notatkę, aby to wyjaśnić.
Kortuk
To prawda, istnieje możliwość rozróżnienia. Zawsze myślałem o seriach odnoszących się do faktu, że była to nieskończona seria dodatków.
AngryEE
transformata Fouriera jest funkcją gęstości amplitudy w jednostkach amplitudy na Hz (lub na rad / s). F(w0) = Anie oznacza, że ​​sygnał ma termin A*exp(j*w0*t). Zamiast tego musisz zintegrować pasmo widmowe, aby obliczyć odpowiednią funkcję w dziedzinie czasu. Gdy szerokość pasma zmniejsza się do 0, wartość w dziedzinie czasu staje się nieskończenie mała - chyba że pasmo widmowe zawiera funkcję delta. Ogólnie rzecz biorąc, masz niezliczoną nieskończoną (nie można jej zindeksować) sumę nieskończenie małych amplitud sinusoid.
Eryk Sun
1

Szereg Fouriera służy do wyrażania okresowego przebiegu jako (prawdopodobnie nieskończonej) sumy „harmonicznych” przebiegów sinusoidalnych.

Służy również do wyrażania sygnału w ograniczonym (zwartym) przedziale czasu jako nieskończonej sumy przebiegów sinusoidalnych.

Zasadniczo, ustanawiając zależność między sygnałem w dziedzinie czasu (to znaczy sygnałem wyrażonym jako funkcja czasu) a równoważnym sygnałem w dziedzinie częstotliwości (to znaczy sygnałem wyrażonym jako funkcja częstotliwości), Fourier Seria umożliwia analizę harmoniczną sygnałów i układów, która stanowi podstawę teorii transmisji radiowej, teorii kodowania, teorii sterowania, teorii kwantowej i wielu innych bardzo przydatnych dziedzin inżynierii.

Podczas gdy wyrażanie sygnałów w szeregu Fouriera wydaje się początkowo bardziej skomplikowane, obejmujące złożone wyrażenia i „nieskończone sumy”, jako narzędzie matematyczne, umożliwiają inżynierom rozwiązywanie problemów, których nie można rozwiązać za pomocą wyrażeń o zamkniętej formie.

Krótko mówiąc, czasem przydatne jest wyrażenie zmienności w przestrzeni i / lub czasie jako zmiany częstotliwości i fazy. Szczególnie w przypadku okresowych zmian. Ale nawet gdy zmiana nie jest okresowa, pod warunkiem, że zmiana jest ograniczona do pewnego przedziału w przestrzeni i / lub czasie, będzie również ograniczona do odpowiedniego przedziału (szerokości pasma) częstotliwości.

Zastosowanie serii Fouriera odegrało kluczową rolę w zrozumieniu przepustowości kanału dla systemów komunikacyjnych, opracowaniu algorytmów kompresji obrazu i poprawie niezawodności systemu dystrybucji energii elektrycznej.

theo
źródło
Dziękuję bardzo, jeśli zasugerujesz kilka czytelnych odniesień do realizacji ostatniego akapitu „Zastosowanie serii Fouriera przyczyniło się do zrozumienia przepustowości kanału dla systemów komunikacyjnych ...” dla mnie, którego główną specjalizacją jest czysta matematyka.
Ali Bagheri,
0

Aby dodać praktyczności do powyższych komentarzy, serie w dziedzinie czasu Fouriera można rozłożyć na składowe w dziedzinie częstotliwości za pomocą algorytmów takich jak FFT (szybka transformata Fouriera) i DFT (dyskretna transformata Fouriera). Jednym ważnym praktycznym rezultatem możliwości zastosowania algorytmów jest to, że w badaniach i rozwoju oraz testach laboratoryjnych często chcemy zmierzyć czystość widmową sygnałów w odniesieniu do poziomu szumu (np. SNR lub fałszywy wolny zakres dynamiczny), aby zobaczyć, jak czysty lub często, bez zniekształceń, nasza treść sygnału jest. Jeśli mamy dane wyjściowe w dziedzinie czasu (takie jak przetwarzałby konwerter DA), nie możemy ustalić tych wartości po prostu patrząc na odpowiedź w dziedzinie czasu, więc często po stronie symulacji użyjemy modułu DFT w celu przekształcenia sygnał w dziedzinie czasu do dziedziny spektralnej (częstotliwości). W laboratorium na oscyloskopie potrzebujemy narzędzia, które może przyjrzeć się właściwościom spektralnym (zwykle używamy analizatorów widma). Serce tych narzędzi zależy od analizy Fouriera i metod rozkładu widmowego. Masz więc praktyczny powód, dla którego analiza Fouriera jest ważna w EE.

poklepać
źródło