Dlaczego fala sinusoidalna jest lepsza od innych przebiegów?

22

Dlaczego naukowcy wybrali falę sinusoidalną do reprezentowania prądu przemiennego, a nie innych fal, takich jak trójkąt i kwadrat?

Jaką przewagę oferuje sinus w porównaniu z innymi przebiegami w reprezentowaniu prądu i napięcia?

ac sine Świeżak91
źródło

32

Nikt nie „wybrał” tych form fal, co naturalnie pojawia się w generatorach.

PlasmaHH

5

Sugeruję, abyś spojrzał na to, jak te rzeczy działają: en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator i jeśli możesz zbudować taki, który daje mi trójkąt lub kwadratową falę, chciałbym mieć taką.

PlasmaHH

10

Fourier doszedł do wniosku, że każdy sygnał / kształt fali można opisać jako szereg nakładających się sinusoid.

HKOB

2

@PlasmaHH Możliwe jest budowanie generatorów dla przebiegów innych niż sinusoidalny. Wystarczy spojrzeć na tylne pole elektromagnetyczne BLDC, który jest trapezoidalny (w powszechnym przypadku). Ale tak, bez dodatkowego wysiłku, fala sinusoidalna jest tym, co łatwo uzyskać.

Roland Mieslinger,

3

@Plutoniumsmuggler Tak właśnie powiedziałem! Twierdziłeś, że każdą funkcję można przedstawić jako szereg Fouriera; Poprawiłem to dla każdej funkcji okresowej. (I w rzeczywistości prawdopodobnie musisz jeszcze bardziej ograniczyć, w tym pewne odpowiednie pojęcie ciągłości i różniczkowalności.)

David Richerby

52

Ruch kołowy naturalnie wytwarza falę sinusoidalną:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Jest to po prostu bardzo naturalna i fundamentalna rzecz, a próba wytworzenia różnych przebiegów jest albo bardziej skomplikowana, albo prowadzi do niepożądanych efektów ubocznych.

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Ruch w górę i w dół (w naturze) wytwarza falę sinusoidalną w czasie:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Andy aka
źródło

2

Ładne zdjęcia Andy, rządzi SHM. (+1)

JIm Dearden

1

oscylacja harmoniczna FTW

vaxquis

5

IIRC tylko ruch sprężyny odbywa się w przybliżeniu za pomocą fali sinusoidalnej, a przybliżenie jest dobre tylko w przypadku małych ugięć. Ale przypadek rotacji jest dokładnie przyczyną, dla której prąd przemienny jest sinusoidalny. + 1`

Ben Voigt

2

Jeśli mogę, chciałbym dodać, że ponieważ sinusoida ma fundamentalne znaczenie, można z nich budować inne przebiegi; Serie Fouriera i transformacja, ktoś?

Sergiy Kolodyazhnyy

2

Sinusoidy są również wyjątkowe, ponieważ różnicują i integrują się z innymi sinusoidami.

Roman Starkov

20

Fale sinusoidalne i sinusoidalne (a właściwie ich składniki w postaci złożonych wykładników) są funkcjami własnymi liniowych układów niezmienniczych w czasie, posiadających zależną od czasu odpowiedź układu Jeśli zbudujesz dowolną sieć z liniowych elementów pasywnych (rezystory, cewki indukcyjne, kondensatory na tym StackExchange) i zasilisz ją ciągłym sygnałem sinusoidalnym, wówczas dowolny punkt w sieci będzie dostarczał ciągły sygnał sinusoidalny o możliwie różnej fazie i wielkości.

\begin{aligned} f (a (t) + b (t), t_{0}) & = f (a (t), t_{0}) + f (b (t), t_{0}) & linearity \\ f (a (t + h), t_{0}) & = f (a (t), t_{0} + h) & niezmienność czasowa \end{aligned}

$\begin{align}f\bigl(a(t)+b(t),t_0\bigr)&= f\bigl(a(t),t_0\bigr)+f\bigl(b(t),t_0\bigr)&&\text{linearity}\\ f\bigl(a(t+h),t_0\bigr)&=f\bigl(a(t),t_0+h\bigr)&&\text{time invariance}\end{align}$

Zasadniczo żaden inny kształt fali nie zostanie zachowany, ponieważ odpowiedź będzie różna dla różnych częstotliwości wejściowych, więc jeśli rozłożysz część wejściową na jej składowe sinusoidalne o unikalnej częstotliwości, sprawdź poszczególne odpowiedzi sieci na te i ponownie złóż uzyskane sygnały sinusoidalne, wynik na ogół nie będzie miał takich samych relacji między składnikami zatokowymi jak pierwotnie.

Dlatego analiza Fouriera jest dość ważna: sieci pasywne reagują bezpośrednio na sygnały sinusoidalne, więc rozkład wszystkiego na sinoidy i plecy jest ważnym narzędziem do analizy obwodów.

użytkownik66031
źródło

1

Czy to nie jest okrągły argument? Jeśli rozłożysz dane wejściowe na inny komponent (na przykład fale trójkątne), uzyskasz inne wyniki.

Random832

9

@ Random832 Nie, wejście fali sinusoidalnej do pasywnej sieci RCL zawsze daje wyjście fali sinusoidalnej (tłumione i przesunięte fazowo o inną wartość w zależności od częstotliwości). Aby zobaczyć dlaczego, zobacz rezonans mechaniczny pokazany w odpowiedzi Andy'ego Aki, którego rezonans elektryczny jest bezpośredni analog. Wejście trójkąta nie daje wyjścia trójkąta. Analiza Fouriera mówi nam, że fala trójkąta składa się z następujących amplitud, częstotliwości: a, fa / 3,3f, a / 5,5f itd. Jeśli rozłożymy trójkąt na te fale sinusoidalne i przeanalizujemy je osobno, możemy je dodać razem i zobaczcie, jaki przebieg wytworzy obwód.

Level River St

1

@ Random832 Jeśli spróbujesz przeanalizować wejście i wyjście systemu RCL na przykład z falami trójkątnymi, znajdziesz odpowiedź nieliniową. W przypadku fal sinusoidalnych / cosinusowych uzyskuje się odpowiedź liniową, co jest ważne.

Aron,

@Aron: Związany jest z tym fakt, że sumowanie dwóch fal sinusoidalnych o tej samej częstotliwości, ale o fazie różnej o kwotę mniejszą niż 180 stopni, da jedną falę sinusoidalną o tej samej częstotliwości i fazę pośrednią. Jednak dodanie dwóch sygnałów o różnej fazie o dopasowanej częstotliwości dla większości innych rodzajów fali da jednak kształt fali, który nie jest podobny do oryginału.

supercat

14

Rzeczy oscylują według sinusa i cosinusa. Mechaniczne, elektryczne, akustyczne, nazywasz to. Zawieś masę na sprężynie, a ona odbije się w górę i w dół z częstotliwością rezonansową zgodnie z funkcją sinusoidy. Obwód LC będzie zachowywał się w ten sam sposób, tylko z prądami i napięciami zamiast prędkości i siły.

Fala sinusoidalna składa się z jednego komponentu częstotliwości, a inne przebiegi można zbudować z sumy wielu różnych fal sinusoidalnych. Możesz zobaczyć składowe częstotliwości w sygnale, patrząc na niego na analizatorze widma. Ponieważ analizator widma przesuwa wąski filtr w zakresie częstotliwości, na który patrzysz, zobaczysz pik przy każdej częstotliwości zawierającej sygnał. Dla fali sinusoidalnej zobaczysz 1 szczyt. Dla fali prostokątnej zobaczysz piki af, 3f, 5f, 7f itp.

Sinus i cosinus są również projekcją rzeczy, które się obracają. Weźmy na przykład generator prądu przemiennego. Generator prądu zmiennego obraca magnes wokół cewki drutu. Gdy magnes się obraca, pole, które uderza w cewkę z powodu magnesu, będzie się zmieniać w zależności od sinusa kąta wału, generując napięcie na cewce, które jest również proporcjonalne do funkcji sinusoidy.

alex.forencich
źródło

Dziękuję @ alex.forencich, więc sinus i cosinus są w podstawowych działaniach wokół nas.

Rookie91

1

Być może mógłbyś uwzględnić w swojej odpowiedzi, że fale o wyższej częstotliwości są generalnie niepożądane , ponieważ prowadzi to do większych strat pojemnościowych i indukcyjnych, a także do większego szumu (ponieważ obecnych jest więcej wyższych częstotliwości), które muszą zostać odfiltrowane przez zasilacze (na przykład w konfiguracji hi-fi).

Sanchises

1

Uwaga: sinus i cosinus są tak fundamentalne, ponieważ pojawiają się naturalnie w równaniach różniczkowych, a wiele aspektów wszechświata jest dobrze modelowanych za pomocą równań różniczkowych (w tym E&M, sprężyny i więcej)

Cort Ammon - Przywróć Monikę

w drugim punkcie - koncepcja składowych częstotliwości (w funkcji okresowości) naprawdę ma sens tylko wtedy, gdy zaczynasz z ortogonalnym zestawem kształtów fali do wykorzystania jako odniesienie - myślę, że sinusoidę można oglądać z różnymi składnikami częstotliwości fal trójkąta - fala sinusoidalna jest tam wyjątkowa ze względu na właściwości liniowości, dzięki czemu możemy rozłożyć sygnał na sinusy i zastosować go do sieci

pasywnej

1

To, że można rozłożyć przebieg na zestaw różnych przebiegów, nie oznacza, że ten drugi przebieg jest w jakiś sposób bardziej „fundamentalny”. Z pewnością możliwe jest rozłożenie fal sinusoidalnych na coś innego. Obwody elektroniczne zachowują się jednak pod względem oscylacji i fal sinusoidalnych. Jeśli zbudujesz filtr dolnoprzepustowy o częstotliwości 100 Hz i umieścisz w nim falę prostokątną o częstotliwości 50 Hz, otrzymasz po drugiej stronie falę sinusoidalną o częstotliwości 50 Hz. Ani fala prostokątna, ani trójkątna. Dlatego fale sinusoidalne są fundamentalne.

alex.forencich

9

Z bardziej matematycznego i fizycznego punktu widzenia, dlaczego sinus i cosinus są fundamentami fal, mogą mieć swoje korzenie w twierdzeniu Pitagorasa i rachunku różniczkowym.

Twierdzenie Pitagorasa dało nam ten klejnot, z sinusami i cosinusami:

{s ja n}^{2)} (t) + {do o s}^{2)} (t) = 1, t \in R

$\mathrm{sin}^2(t) + \mathrm{cos}^2(t) = 1, t \in \mathbb{R}$

To spowodowało, że sinus i cosinus znoszą się w odwrotnych kwadratowych prawach, które rozpraszają się po całym świecie fizyki.

I z rachunku różniczkowego mamy to:

\frac{re}{re x} s ja n x = do o s x

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sin}x = \mathrm{cos}x$

\frac{re}{re x} do o s x = - s ja n x

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{cos}x = -\mathrm{sin}x$

Oznacza to, że każda forma operacji rachunku różniczkowego zachowałaby sinus i cosinus, jeśli istnieje jedna z nich.

Na przykład, gdy rozwiązujemy chwilowe położenie obiektu w prawie Hooke'a (wszędzie podobna forma), mamy to:

- k x = fa = m \frac{{re}^{2)}}{re t^{2)}} x

$-kx = F = m\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}x$

$x=\mathrm{sin}(t)$

Maxthon Chan
źródło

+0.(9); IMO warto również zauważyć, że rozwiązanie większości powszechnie używanych równań różniczkowych (równań falowych, równań strunowych, równań płynów) wymaga x=e^(lambda*t)podstawienia, co później tworzy rozwiązanie, które można przekształcić w x = A*sin(lambda*t) + B*cos(lambda*t)formę, zasadniczo wymuszając rozszerzenie sinus / cosinus w roztworach takich równań.

vaxquis

x = A s i n (λ t) + B c o s (λ t)

$x=A\mathrm{sin}(\lambda t)+B\mathrm{cos}(\lambda t)$

x = f (s i n (g (t)))

$x=f(\mathrm{sin}(g(t)))$

tak, dokładnie. Można je również wyrazić jako cosinus; Właśnie wskazałem, że ponieważ IMO wyraźnie pokazuje, że wszystkie trzy formy (sinus, cosinus, sinus + cosinus) są równoważne i w rzeczywistości są używane zamiennie, w zależności od potrzeb i kontekstu, co można zobaczyć np. Na en.wikipedia .org / wiki / Harmonic_oscillator or en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation .

vaxquis

9

Naukowcy nie wybrali fali sinusoidalnej, właśnie to otrzymali z generatora prądu przemiennego. W generatorze prądu przemiennego fala sinusoidalna powstaje w wyniku ruchu wirnika w polu magnetycznym. Nie ma łatwego sposobu, aby zrobić inaczej. Zobacz ten rysunek w Wikipedii. http://en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator#Revolving_armature

obaej
źródło

3

Fale sinusoidalne zawierają tylko jedną częstotliwość. Fala kwadratowa lub trójkątna jest sumą nieskończonej ilości fal sinusoidalnych, które są harmoniczne częstotliwości podstawowej.

Pochodna idealnej fali kwadratowej (ma zerowy czas narastania / opadania) jest nieskończona, gdy zmienia się z niskiej na wysoką lub odwrotnie. Pochodna idealnej fali trójkątnej jest nieskończona u góry iu dołu.

Jedną praktyczną konsekwencją tego jest to, że trudniej jest przesłać sygnał kwadratowy / trójkątny, powiedzmy przez kabel, niż sygnał, który jest tylko falą sinusoidalną.

Inną konsekwencją jest to, że fala prostokątna generuje znacznie więcej promieniowania promieniowanego w porównaniu do fali sinusoidalnej. Ponieważ zawiera wiele harmonicznych, mogą one promieniować. Typowym przykładem jest zegar do pamięci SDRAM na płytce drukowanej. Jeśli nie zostanie ostrożnie poprowadzony, wygeneruje dużo promieniowania. Może to powodować błędy w testowaniu EMC.

Fala sinusoidalna może również promieniować, ale wtedy emitowana byłaby tylko częstotliwość fali sinusoidalnej.

Reidar Gjerstad
źródło

Można argumentować, że fale kwadratowe zawierają tylko jedną częstotliwość. Fala sinusoidalna jest sumą nieskończonej ilości fal kwadratowych.

jinawee

@ jinawee Mógłbyś, ale są też inne rzeczy, które sprawiają, że sinusoidy są „podstawowym” rodzajem fali. Na przykład jest to jedyny, który wyróżnia się w sobie (nie uwzględniając przesunięcia fazowego). Chociaż fizyczne wyjaśnienie oscylujących układów sprężynowych jest tym, które lubię najbardziej.

Roman Starkov

@jinawee, czy mógłbyś to udowodnić?

Eric Best

@EricBest Nie znam dowodu, ale miałem na myśli funkcje Walsha en.wikipedia.org/wiki/Walsh_function, które są podstawą Hilberta w przedziale [0,1]. Oczywiście mogą pojawić się pewne subtelności, takie jak równość do zbioru miary zero lub podobne rzeczy.

jinawee

@jinawee: Przełożenie jednej fali sinusoidalnej przez układ liniowy da albo jedną falę sinusoidalną o tej samej częstotliwości, albo prąd stały (który może być postrzegany jako jedna fala sinusoidalna o tej samej częstotliwości, ale o amplitudzie zerowej). Przełożenie sumy fal sinusoidalnych przez taki system da taki sam rezultat, jak przepuszczenie każdej fali osobno i dodanie wyników. Połączenie tych dwóch właściwości jest unikalne dla fal sinusoidalnych.

supercat

3

Po pierwsze, funkcje sinus i cosinus są jednolicie ciągłe (więc nie ma żadnych nieciągłych punktów w ich domenie) i są nieskończenie zróżnicowane na całej linii Real. Można je również łatwo obliczyć za pomocą rozszerzenia serii Taylor.

Te właściwości są szczególnie przydatne w definiowaniu rozszerzenia szeregów Fouriera funkcji okresowych na linii rzeczywistej. Zatem przebiegi niesinusoidalne, takie jak fala kwadratowa, piłokształtna i trójkątna, mogą być reprezentowane jako nieskończona suma funkcji sinusoidalnych. Ergo, fala sinusoidalna stanowi podstawę Analizy Harmonicznej i jest najprostszym matematycznie przebiegiem do opisania.

LapToppin
źródło

2

Zawsze lubimy pracować z liniowymi modelami matematycznymi rzeczywistości fizycznych ze względu na prostotę obsługi. Funkcje sinusoidalne są „funkcjami własnymi” układów liniowych.

$\sin(t)$
$A\cdot\sin(t + \phi)$

Funkcja pozostaje taka sama i jest skalowana tylko w amplitudzie i przesuwana w czasie. Daje nam to dobry pomysł na to, co stanie się z sygnałem, jeśli rozchodzi się przez system.

Axel Vanraes
źródło

Dziękuję @Axel Vanraes za cenny wkład. Doceniam to bardzo.

Rookie91

0

Sinus / Cosinus to rozwiązania równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu.

sin '= cos, cos' = - sin

Podstawowe elementy elektroniczne, takie jak cewki indukcyjne i kondensatory, powodują integrację różnicowania prądu z napięciem.

Dzięki rozkładowi dowolnych sygnałów na fale sinusoidalne równania różniczkowe można łatwo analizować.

TEMLIB
źródło

0

Jednym ze sposobów spojrzenia na to w skrócie jest to, że szereg harmonicznych funkcji sinus i cosinus tworzy ortogonalną podstawę liniowej przestrzeni wektorowej funkcji o wartościach rzeczywistych w skończonym przedziale czasowym. Zatem funkcję w przedziale czasowym można przedstawić jako liniową kombinację harmonicznie powiązanych funkcji sinus i cosinus.

Oczywiście możesz użyć innego zestawu funkcji (np. Określonych falek), o ile utworzą one prawidłowy zestaw podstawowy i w ten sposób rozłożą interesującą funkcję. Czasami takie dekompozycje mogą być przydatne, ale do tej pory znamy tylko ich specjalistyczne zastosowania.

Biorąc analogię geometryczną: możesz użyć nieortogonalnej podstawy do opisania składników wektora. Na przykład wektor w ortonormalnej podstawie może zawierać składniki [1,8,-4]. W niektórych innych, nieortonormalnych podstawach może zawierać składniki [21,-43,12]. To, czy ten zestaw komponentów jest łatwiejszy lub trudniejszy do interpretacji, niż zwykła podstawa ortonormalna, zależy od tego, co próbujesz zrobić.

Przywróć Monikę
źródło

-3

mniej strat
mniejsza liczba harmonicznych
brak zakłóceń linii komunikacyjnej
bardzo mniej zniekształcający efekt
maszyna działa wydajnie
bardzo małe przejściowe zachowanie w przypadku L i C.

pradeep maurya
źródło

Dlaczego fala sinusoidalna jest lepsza od innych przebiegów?

Odpowiedzi: