Złożone impedancje

Co to znaczy mieć złożoną impedancję?

Na przykład impedancja kondensatora (w domenie Laplace'a?) Jest podawana przez 1 / sC (uważam), co odpowiada gdzie przejściowe są zaniedbany. Co to znaczy, że impedancja jest wyobrażona?$\dfrac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot f \cdot C}$

Jestem obecnie na drugim roku elektrotechniki na uniwersytecie, więc jeśli to możliwe, byłbym wdzięczny za matematycznie uzasadnioną i dokładną odpowiedź, jeśli nie byłoby to zbyt wielkim problemem, z odniesieniem do materiałów do nauki (zasoby internetowe i papierowe) idealne.

Z góry dziękuję.

TL; DR Urojona część impedancji mówi o reaktywnym składniku impedancji; jest to odpowiedzialne (między innymi) za różnicę fazy między prądem i napięciem a mocą bierną wykorzystywaną przez obwód.

Podstawową zasadą jest to, że każdy sygnał okresowy może być traktowany jako suma (czasami) nieskończonych fal sinusoidalnych zwanych harmonicznymi o równomiernie rozmieszczonych częstotliwościach. Każdy z nich można traktować osobno, jako własny sygnał.

Dla tych sygnałów używasz reprezentacji, która jest następująca:

I widać, że już przeskoczyliśmy w dziedzinie liczb zespolonych, ponieważ można użyć złożonej wykładniczej do reprezentowania rotacji.

Tak więc impedancja może być aktywna (rezystancja) lub reaktywna (reaktancja); podczas gdy pierwszy z definicji nie wpływa na fazę sygnałów ( ), ale ma reaktancję, więc przy użyciu liczb zespolonych można ocenić zmianę fazy wprowadzanej przez reaktancję.$\phi$

Otrzymujesz więc:

gdzie | Z | jest wielkość impedancji, wydane przez:

a theta jest fazą wprowadzoną przez impedancję, i jest dana przez:

Po zastosowaniu do poprzedniej funkcji staje się:

Rozważmy idealny kondensator: jego impedancja wyniesie które jest urojone i negatywne; jeśli umieścisz go w obwodzie trygonometrycznym, uzyskasz fazę -90 °, co oznacza, że ​​przy czysto pojemnościowym obciążeniu napięcie będzie o 90 ° poniżej prądu.$\frac{1}{j \omega C} = -\frac{j}{\omega C}$

Więc dlaczego?

Powiedzmy, że chcesz zsumować dwie impedancje: 100 Ohm i 50 + i50 Ohm (lub, bez liczb zespolonych, ). Następnie za pomocą liczb zespolonych sumujesz rzeczywistą i urojoną część i otrzymujesz 150 + i50 Ohm.$70.7 \angle 45 ^\circ$

Bez użycia liczb zespolonych sprawa jest znacznie bardziej skomplikowana, ponieważ możesz albo użyć cosinusów i sinusów (ale to samo z użyciem liczb zespolonych wtedy), albo wpaść w chaos wielkości i faz. To zależy od Ciebie :).

Teoria

Kilka dodatkowych pojęć, próbując odpowiedzieć na twoje pytania:

• Reprezentacja harmonicznych sygnałów jest zwykle rozwiązana przez rozkład szeregu Fouriera :

• Złożony wykładniczy jest związany z cosinusem również według wzoru Eulera :

Jestem pewien, że nie odpowie to całkowicie na twoje pytanie, w rzeczywistości mam nadzieję, że uzupełni to już udzielone odpowiedzi, które wydają się zaniedbywane: koncepcja użycia liczb zespolonych (która, jak już powiedziano, jest tylko fantazyjną nazwą typu matematycznej „ilości”, jeśli chcesz).

Pierwszym głównym pytaniem, na które powinniśmy odpowiedzieć, jest dlaczego liczby zespolone. Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy zrozumieć potrzebę różnych zestawów liczb, od liczb naturalnych do liczb rzeczywistych.

Od najmłodszych lat liczby naturalne pozwalały ludziom liczyć, np. Jabłka i pomarańcze na rynku. Następnie wprowadzono liczby całkowite w celu rozwiązania problemu „zadłużenia” za pomocą liczb ujemnych (było to trudne pojęcie do zrozumienia w tym czasie). Teraz sprawy stają się bardziej interesujące dzięki liczbom wymiernym i potrzebie reprezentowania „ilości” ułamkami. Interesujące w przypadku tych liczb jest to, że potrzebujemy dwóch liczb całkowitych, a nie tylko jednej (jak w przypadku liczb naturalnych i liczb całkowitych), na przykład 3/8. Ten sposób reprezentowania „ilości” jest bardzo przydatny, na przykład do opisania liczby plasterków (3) pozostałych w cieście z 8 plasterkami, gdy 5 zostało już zjedzonych :) (nie można tego zrobić za pomocą liczby całkowitej!).

Przejdźmy teraz do liczb niewymiernych i rzeczywistych i przejdźmy do liczb zespolonych. Inżynierowie elektronicy stanęli przed wyzwaniem opisania i działania innego rodzaju „wielkości”, napięcia sinusoidalnego (i prądu) w obwodzie liniowym (tj. Wykonanym z rezystorów, kondensatorów i cewek). Zgadnij co, odkryli, że liczby zespolone są rozwiązaniem.

$\omega$$\phi$

$\omega$

$\frac{1}{j \omega C}$

AKTUALIZACJA

Jest też kilka notatek, które gorąco polecam przeczytać „Wprowadzenie do złożonej analizy dla inżynierów” Michaela D. Aldera. To bardzo przyjazne podejście do tematu. W szczególności polecam pierwszy rozdział.

Używanie liczb zespolonych jest matematycznym sposobem przedstawiania zarówno składników fazowych, jak i niefazowych - prądu względem napięcia. Imaginacyjna impedancja nie oznacza, że ​​impedancja nie istnieje, oznacza to, że prąd i napięcie nie są ze sobą w fazie. Podobnie rzeczywista impedancja nie oznacza rzeczywistej w sensie codziennym, tylko fakt, że prąd jest w fazie z napięciem.

1. Poniższe opisy SZUKAJ, aby zdemitologizować, co należy rozumieć przez „złożone” wielkości w kontekście RCL. Pojęcia „wyimaginowanych” elementów są użyteczną metaforą, która ma tendencję do zaślepiania ludzi na proste podstawowe rzeczywistości. Poniższy tekst mówi w kategoriach RC i nie dotyka tajemnic LC, które w rzeczywistości nie są już tak tajemnicze.

2. Przydałoby Ci się wszystko, co w twojej mocy, aby zająć się większością poruszonych kwestii za pomocą podręcznika lub wyszukiwarki internetowej, zanim zaczniesz szukać wyjaśnień od innych, PONIEWAŻ to pytanie jest tak bardzo fundamentalne dla podstaw obwodów prądu zmiennego z reaktywnym składniki. Radzenie sobie z trudnymi pytaniami ma pierwszeństwo przed tym, jak poradzisz sobie z podobnymi sprawami w całej edukacji, a Internet ma prawdopodobnie miliony stron zajmujących się tym tematem (Gargoyle mówi ~ = 11 milionów, ale kto może powiedzieć?). Stopień szczegółowości i dokładności, o który prosisz, jest nierealny w przypadku witryny takiej jak ta, biorąc pod uwagę ogromną ilość szczegółów „tam”. (Chyba że właściciele witryny próbują replikować podzbiór Wikipedii).

SO - Nie sądzę, że pomoc w opanowaniu podstaw jest dobrym pomysłem, abyś mógł go podnieść i pobiec stamtąd. Więc ...

Jeśli podłączysz zacisk wejściowy do rezystora szeregowego do kondensatora, a drugi kondensator zostanie „uziemiony”, otrzymasz szeregowy obwód RC:
Vin - rezystor - kondensator - masa.

Jeśli teraz przyłożysz napięcie wejściowe do wejścia, prąd kondensatora będzie się dopasowywać, ale kondensator zacznie się ładować za pomocą tego napięcia do wytworzenia prądu w rezystorze. Wzrost napięcia będzie wykładniczy, ponieważ prąd wpływający do kondensatora zostanie wyregulowany przez Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries. tzn. gdy Vcap rośnie, potencjał na oporniku spada, a więc prąd maleje. Teoretycznie Vcap dotrze do Vin zajmie nieskończony czas, ale w praktyce jest mniej więcej „w około 3 stałych czasowych, gdzie
t = RC = czas, w którym Iin spadnie do 1 / e jego początkowej wartości. Co i dlaczego z terminu 1 / e znasz lub zrobisz po przeczytaniu referencji.

TERAZ, jeśli zastosujemy sygnał fali prostokątnej, kondensator naładuje się jak powyżej, gdy sygnał wejściowy jest dodatni, i rozładuje się w podobny sposób wykładniczy, gdy sygnał wejściowy jest uziemiony lub ujemny. Podczas gdy prąd kondensatora będzie podążał za Vin i będzie maksymalny, gdy Vin przejdzie w stan wysoki / niski lub niski wysoki, napięcie kondensatora z powodów opisanych powyżej będzie opóźnione w stosunku do napięcia wejściowego. Po osiągnięciu stanu ustalonego, jeśli wykreślisz Vcap i I cap, znajdziesz dwa przebiegi przesunięte nawet o prawie 90 stopni lub tak niewiele jak prawie stopnie, gdzie jeden cały cykl wejściowy = 360 stopni. To, jak daleko napięcie kondensatora opóźnia się w stosunku do prądu, zależy od częstotliwości wejściowej i stałej czasowej RC.

Dla niewtajemniczonych może to wyglądać jak magia (lub zastosowanie tiotimoliny *), z przebiegiem prądu zachodzącym do 1/4 cyklu przed jego napięciem, ALE to tylko dlatego, że logicznym powodem tego, jak wyjaśniono powyżej, nie jest z konieczności intuicyjnie oczywiste po inspekcji.

Jeśli zaczniesz czesać kondensatory, rezystory i cewki indukcyjne na różne sposoby, musisz być w stanie radzić sobie matematycznie ze względnymi fazami różnych przebiegów. [Przy pierwszym wprowadzeniu może się wydawać, że fazory są ogłuszone].

Pewne kompetentne ustalenie, lub spojrzenie na niektóre z około 10 milionów stron internetowych na ten temat, wskaże, że tam gdzie masz dwa przebiegi, które różnią się między sobą fazami, i które są oparte na wzajemnej relacji wykładniczej, to każdy kształt fali może być reprezentowany przez polarną reprezentację postaci [R, Theta], która z kolei może być reprezentowana jako liczba zespolona, ​​która ma składowe X i Y, które odzwierciedlają postać polarną.

„Wektor” biegunowy, który reprezentuje relację napięcia i prądu w danej sytuacji, wykorzystuje „metaforę” ramienia wektora obrotowego, dającą długość ramienia i kąt fazowy względem odniesienia. Tę „metaforę” można zastąpić składową X i Y, w której wielkość postaci polarnej jest wyrażona przez R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) i której kąt theta jest określony przez tan ^ -1 (X / Y ). Można to zobaczyć w formie schematycznej poniżej.

Stąd

OSTRZEŻENIE - nie daj się zwieść terminologii.

Zauważ, że termin „liczba zespolona” to po prostu żargon. Zastosowanie sqrt (-1) jest użyteczną częścią metafory, która pozwala na działanie arytmetyki, ALE faktyczne wielkości są całkowicie rzeczywiste i „zwykłe”. Gdy zastosowane zostaną elementy reaktywne, takie jak cewki indukcyjne i kondensatory, energia nie będzie już po prostu iloczynem wielkości w wektorach napięcia i prądu. tzn. moc z V.sin (fred) x I.sin (Josepine) nie (zwykle) = VI. Nie oznacza to niczego specjalnego, magicznego, złożonego lub wyobrażeniowego na temat zmiennych - po prostu są one wariantami czasowymi, a ich szczytowe wielkości zwykle nie pokrywają się.

Dodatkowa lektura - wysoce zalecane:

Impedancja elektryczna

Obwód RC

Obwód LC

Złożony kalkulator impedancji

• I Asimov.

Wyrażanie pojemności i indukcyjności jako wyobrażonych rezystancji ma tę zaletę, że można użyć dobrze znanych metod rozwiązywania problemów liniowych z rezystorami do rozwiązywania problemów liniowych z rezystorami, kondensatorami i cewkami.

Takie na przykład problemy liniowe i ich dobrze znane metody

1. Problem: obliczanie rezystancji dwóch rezystorów szeregowo
   Metoda: R = R1 + R2
   można również wykorzystać do obliczenia impedancji rezystora / kondensatora / cewki indukcyjnej szeregowo z innym rezystorem / kondensatorem / cewką

2. Problem: obliczanie rezystancji równolegle dwóch rezystorów
   Metoda: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
   można również wykorzystać do obliczenia impedancji rezystora / kondensatora / cewki indukcyjnej równolegle z innym rezystorem / kondensatorem / cewką

3. Problem: rozwiązanie sieci zawierającej rezystory, napięcie stałe i źródła prądu stałego
   Metoda: rozwiązanie równoczesnego układu równań liniowych
   może być również wykorzystane do rozwiązania sieci zawierającej rezystory, kondensatory, cewki indukcyjne, napięcie przemienne lub stałe oraz źródła prądu przemiennego lub stałego

4. itp.

Wszystkie te formuły / metody, które działają z rzeczywistymi wartościami rezystancji (tylko rezystory) i źródłami prądu stałego, działają równie dobrze z wartościami złożonymi (rezystory, cewki indukcyjne, kondensatory) i źródłami prądu przemiennego.

Chociaż niekoniecznie musi istnieć intuicyjny powód, dla którego użycie liczb zespolonych do przedstawienia kombinacji sygnałów w fazie i poza fazą powinno być przydatne, okazuje się, że reguły arytmetyczne dla liczb zespolonych bardzo dobrze pasują do faktycznego zachowania i współdziałanie rezystorów, kondensatorów i cewek.

Liczba zespolona jest sumą dwóch części: części rzeczywistej i części „urojonej”, które mogą być reprezentowane przez liczbę rzeczywistą pomnożoną przez i , która jest zdefiniowana jako pierwiastek kwadratowy z -1. Liczbę zespoloną można zapisać w postaci A + Bi , przy czym zarówno A, jak i B są liczbami rzeczywistymi. Następnie można zastosować reguły arytmetyki wielomianowej do działania na liczbach zespolonych, traktując i jako zmienną, ale można także zastąpić i² przez -1 (więc np. Iloczyn Pi × Qi wynosi -P × Q).

Przy dowolnej częstotliwości można określić, jak zachowa się sieć rezystorów, cewek i kondensatorów, obliczając impedancję skuteczną każdego elementu, a następnie stosując prawo Ohma do obliczenia rezystancji skutecznej kombinacji szeregowych i równoległych oraz napięć i prądów przez im. Ponadto, ponieważ wszystkie rezystory, kondensatory i cewki indukcyjne są urządzeniami liniowymi, można obliczyć, jak zachowa się sieć po wstrzyknięciu kombinacji częstotliwości, obliczając, co zrobią z każdą konkretną częstotliwością, a następnie sumując wyniki. Złożona arytmetyka może być bardzo przydatna podczas próby analizy zachowania takich rzeczy jak filtry, ponieważ pozwala obliczyć wyjście filtra jako funkcję danych wejściowych. Podano sygnał wejściowy o wartości rzeczywistej vwolty przy pewnej częstotliwości f , można obliczyć napięcie lub prąd w dowolnym konkretnym węźle; rzeczywista część będzie w fazie z wstrzykiwaną falą, a część urojona będzie o 90 stopni poza fazą. Zamiast stosować fantazyjne równania różniczkowe do rozwiązania zachowania obwodu, można względnie podstawową arytmetykę z liczbami zespolonymi.

Liczby zespolone są stosowane w elektrotechnice dla wielkości, które mają wielkość i fazę. Impedancja elektryczna to stosunek prądu do napięcia. W przypadku prądów i napięć prądu przemiennego przebiegi prądu i napięcia mogą nie być w fazie; faza impedancji mówi ci o różnicy faz.