Jak znaleźć otoczkę czworościanu?

Szukam najbardziej zminimalizowanym równania znaleźć współrzędne centrum i promień z czworościanu circumsphere podane cztery punkty 3D.

To, co znalazłem w Internecie, dotyczy głównie obwodu płaskiego trójkąta 3D lub niektórych przybliżonych definicji matematycznych lub niektórych bardzo pojedynczych przypadków, takich jak zwykłe czworościany. W każdym razie udało mi się znaleźć równanie poniżej, ale coś przeoczyłem:

    ->  ->      ->
let d1, d2, and d3 three vectors of any face of the triangle :

    | d1x  d1y  d1z |   | x |   | d1^2 |
2 * | d2x  d2y  d2z | * | y | = | d2^2 |
    | d3x  d3y  d3z |   | z |   | d3^2 |

Moja wiedza w tej dziedzinie ma swoje granice, ale myślę, że potrafię obsługiwać macierze i operacje wektorowe. Ale czy prawidłowa część równania jest kwadratem normy każdego wektora? (które są w wektorze). Czy równanie jest prawidłowe? Czy to tylko pisarz, który leniwie zapomniał napisać | d1 | ^ 2? Czy jest to powszechny sposób definiowania niektórych właściwości matematycznych.

PS: To jest implementacja triangulacji Delaunaya. Równanie (numer 9) znajduje się w następującym linku: https://www2.mps.mpg.de/homes/daly/CSDS/t4h/tetra.htm

Chociaż jest to starożytny wątek, pomyślałem, że dla potomności może być coś ciekawego. Źródło formuły pochodzi z Geometric Tools for Computer Graphics autorstwa Philipa J. Schneidera i Davida H. Eberly. Coś do odnotowania, zgodnie z tekstem

Czworościan V0, V1, V2, V3 jest uporządkowany tak, że jest izomorficzny w stosunku do kanonicznego (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) ).

Jak rozumiem izomorfizm , w geometrii może istnieć kilka różnych znaczeń. Jeśli chodzi o izomorficzny w odniesieniu do teorii grafów, to poniższy kod powinien zachowywać się poprawnie, ponieważ topologia dowolnego czworościanu jest taka sama (K4, pełny wykres). I przetestowane wyniki funkcji przeciwko Wolfram Alpha stosując różne permutacje w zamawiania kanonicznych wierzchołków i widziałem żadnej różnicy w wynikach. Jeśli uporządkowanie okaże się problemem, sugeruję zbadanie normalności trójkąta utworzonego przez wierzchołki V1, V2, V3 po wejściu do tej funkcji i potraktowanie punktów jak półprzestrzeń testem iloczynu, aby ustalić jeśli ten trójkąt jest skierowany we właściwą stronę. Jeśli nie, to prostestd::swapdowolnych dwóch wierzchołków trójkąta odwróci kierunek normalny i możesz kontynuować. Ale jak powiedziałem, nie widziałem różnicy przy różnych permutacjach.

Oto przetłumaczony kod bez użycia macierzy, aby uniknąć nieporozumień związanych z implementacją, jest dość prosty;

void Circumsphere(const Vec3& v0, const Vec3& v1, const Vec3& v2, const Vec3& v3, Vec3* center, float* radius)
{
  //Create the rows of our "unrolled" 3x3 matrix
  Vec3 Row1 = v1 - v0;
  float sqLength1 = length2(Row1);
  Vec3 Row2 = v2 - v0;
  float sqLength2 = length2(Row2);
  Vec3 Row3 = v3 - v0;
  float sqLength3 = length2(Row3);

  //Compute the determinant of said matrix
  const float determinant =   Row1.x * (Row2.y * Row3.z - Row3.y * Row2.z)
                            - Row2.x * (Row1.y * Row3.z - Row3.y * Row1.z)
                            + Row3.x * (Row1.y * Row2.z - Row2.y * Row1.z);

  // Compute the volume of the tetrahedron, and precompute a scalar quantity for re-use in the formula
  const float volume = determinant / 6.f;
  const float iTwelveVolume = 1.f / (volume * 12.f);

  center->x = v0.x + iTwelveVolume * ( ( Row2.y * Row3.z - Row3.y * Row2.z) * sqLength1 - (Row1.y * Row3.z - Row3.y * Row1.z) * sqLength2 + (Row1.y * Row2.z - Row2.y * Row1.z) * sqLength3 );
  center->y = v0.y + iTwelveVolume * (-( Row2.x * Row3.z - Row3.x * Row2.z) * sqLength1 + (Row1.x * Row3.z - Row3.x * Row1.z) * sqLength2 - (Row1.x * Row2.z - Row2.x * Row1.z) * sqLength3 );
  center->z = v0.z + iTwelveVolume * ( ( Row2.x * Row3.y - Row3.x * Row2.y) * sqLength1 - (Row1.x * Row3.y - Row3.x * Row1.y) * sqLength2 + (Row1.x * Row2.y - Row2.x * Row1.y) * sqLength3 );

  //Once we know the center, the radius is clearly the distance to any vertex
  *radius = length(*center - v0);
}