Jeden z moich kolegów pracuje z danymi rozproszonymi w dwóch strefach UTM. Większość danych znajduje się w jednej strefie, a kilka wartości odstających w innej strefie. Chciałby wiedzieć, jakie byłyby zniekształcenia powierzchni tych wartości odstających, gdyby znajdowały się w głównej strefie UTM.
Czy istnieje wzór do obliczania zniekształceń powierzchniowych, wiedząc, jak daleko od drugiej strefy UTM były te cechy?
UTM wykorzystuje poprzeczną projekcję Mercatora ze współczynnikiem skali 0,9996 na południku środkowym. W Mercatorze współczynnik skali odległości jest siecznym szerokości geograficznej (jedno źródło: http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection ), skąd współczynnik skali obszaru jest kwadratem tego współczynnika skali (ponieważ ma zastosowanie w we wszystkich kierunkach, Mercator jest zgodny). Rozumiejąc szerokość geograficzną jako odległość sferyczną do równika i przybliżając elipsoidę za pomocą kuli, możemy zastosować tę formułę do dowolnego aspektu rzutu Mercatora. A zatem:
Współczynnik skali wynosi 0,9996 razy sieczna (kątowa) odległość do południka środkowego. Współczynnik skali obszaru jest kwadratem tej wielkości.
Aby znaleźć tę odległość, rozważ trójkąt sferyczny utworzony przez podróżowanie geodezyjnym z dowolnego punktu w (lon, lat) = (lambda, phi) prosto w kierunku południka środkowego na długości mu, wzdłuż tego południka do najbliższego bieguna, a następnie z powrotem wzdłuż południka lambda do pierwotnego punktu. Pierwszy zakręt to kąt prosty, a drugi to kąt lambda-mu. Ilość przemieszczona wzdłuż ostatniej porcji wynosi 90 stopni phi. Kulisty twierdzenie sinusów stosowane do tego trójkąta stanach
sin (lambda-mu) / sin (odległość) = sin (90 stopni) / sin (90-phi)
z rozwiązaniem
odległość = ArcSin (sin (lambda-mu) * cos (phi)).
Odległość ta jest podana jako kąt, który jest wygodny do obliczenia siecznego.
Przykład
Rozważ strefę UTM 17, z południkiem środkowym przy -183 + 17 * 6 = -81 stopni. Niech odległe miejsce będzie na długości -90 stopni, szerokości 50 stopni. Następnie
Krok 1: Sferyczna odległość od (-90, 50) do południka -81 stopnia jest równa ArcSin (sin (9 stopni) * cos (50 stopni)) = 0,1007244 radianów.
Krok 2: Zniekształcenie powierzchni jest równe (0,9996 * s (0,1007244 radianów)) ^ 2 = 1,009406.
(Obliczenia numeryczne z elipsoidą GRS 80 dają wartość 1,009435, pokazując, że obliczona przez nas odpowiedź jest o 0,3% za niska: jest to ten sam rząd wielkości co spłaszczenie elipsoidy, wskazując, że błąd wynika z aproksymacji sferycznej.)
Przybliżenia
Aby dowiedzieć się, jak zmienia się obszar, możemy użyć niektórych tożsamości wyzwalaczy, aby uprościć ogólne wyrażenie i rozwinąć je jako szereg Taylora w lambda-mu (przesunięcie między długością punktu i długością centralnego południka UTM). To działa
Współczynnik skali powierzchni ~ 0,9992 * (1 + cos (phi) ^ 2 * (lambda-mu) ^ 2).
Tak jak w przypadku wszystkich takich rozszerzeń, kąt lambda-mu należy mierzyć w radianach. Błąd jest mniejszy niż 0,9992 * cos (phi) ^ 4 * (lambda-mu) ^ 4, co jest zbliżone do kwadratu różnicy między przybliżeniem a 1 - to znaczy kwadratu wartości po przecinku .
W przykładzie z phi = 50 stopni (z cosinusem 0,642788) i lambda-mu = -9 stopni = -0,15708 radianów, przybliżenie daje 0,9992 * (1 + 0,642788 ^ 2 * (-0,15708) ^ 2) = 1,009387. Patrząc za przecinek dziesiętny i do kwadratu, wywnioskujemy (nawet nie znając prawidłowej wartości), że jego błąd nie może być większy niż (0,009387) ^ 2 = mniej niż 0,0001 (a tak naprawdę błąd jest tylko o jedną piątą tego rozmiaru).
Z tej analizy wynika, że na dużych szerokościach geograficznych (gdzie cos (phi) jest małe), błędy skali będą zawsze małe; a na mniejszych szerokościach geograficznych błędy skali będą zachowywać się jak kwadrat różnicy długości.
Narzędzie GeographicLib GeoConvert
http://geographiclib.sf.net/html/GeoConvert.1.html
umożliwia obfite nakładanie się stref UTM (w szczególności dozwolona jest konwersja do sąsiedniej strefy, pod warunkiem, że wynikowe wschodzenie będzie w zakresie [0 km, 1000 km]). GeoConvert może również raportować zbieżność i skalę południka, a jak zauważa Whuber, zniekształcenie powierzchni jest kwadratem skali.
Na przykład twoja „główna” strefa to 42 i otrzymujesz punkt
41N 755778 3503488
(Uniwersytet Kandahar), który znajduje się około 29 km na zachód od strefy 42. Aby przekształcić to w strefę 42, użyj
echo 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 ==> 42N 186710 3505069
Aby określić zbieżność południka i skalę w strefie 42, dodaj flagę -c
echo 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 -c ==> -1,73405 1.0008107
Zatem zniekształcenie powierzchni wynosi 1.0008107 ^ 2 = 1.0016221.
źródło