Dlaczego ścieżka „prosta” przez kontynent jest tak zakrzywiona?

Jest to wynikiem odwzorowania ścieżki linii prostej od punktu w USA do Polski za pomocą narzędzia do pomiaru odległości .

Ponadto samoloty z Azji do USA leciałyby prawie nad biegunem północnym.

Dlaczego ścieżka jest tak zakrzywiona? Zgadzam się, że jest to płaska reprezentacja kuli, więc spodziewam się pewnego łuku, ale nie sądzę, że Ziemia ma tak dużą krzywiznę.

Czego tu brakuje?

Wystarczy spojrzeć na ścieżkę na kuli. Oto w Google Earth:

Ścieżka na swojej mapie jest silnie zakrzywiona, ponieważ mapa wykorzystuje projekcję z dużą ilością zakłóceń. (Zniekształcenie rośnie bez ograniczenia w kierunku biegunów, a ta ścieżka zbliża się do bieguna północnego.)

Edytować

Zniekształcenie jest konieczne, aby wyjaśnić krzywiznę tej geodezyjnej na mapie, ale połączenie między nimi jest subtelne. Można powiedzieć więcej, które są jednocześnie przydatne, pouczające i eleganckie. Sprawdź, czy się zgadzasz.

Mapa OP korzysta z projekcji Mercator. Jego istotnymi cechami jest to, że jest

• Cylindryczne : w szczególności południki to pionowe linie na mapie,

• Zgodny : każdy kąt, pod którym przecinają się dwie ścieżki na ziemi, zostanie poprawnie renderowany na mapie, oraz

• Lokoksodrom : dowolna trasa stałego namiaru (na ziemi) jest renderowana jako odcinek linii prostej na mapie.

Te właściwości ułatwiają odczytanie niektórych ważnych informacji bezpośrednio z mapy. W tym kontekście najbardziej interesują mnie kąty utworzone przez dowolną ścieżkę z każdym z meridianów, które przecina. (Są to namiary mierzone od północy.) Na przykład ścieżka przedstawiona w pytaniu rozpoczyna się w Kanadzie, około 54 stopni szerokości geograficznej, tworząc kąt około 30 stopni z południkiem.

O punkcie o szerokości 54 stopni musimy także wiedzieć, że znajduje się on bliżej osi Ziemi niż punktów wzdłuż równika. W rzeczywistości jest to cos (54) * R od osi, gdzie R jest promieniem ziemi. (Jest to zasadniczo definicja cosinusu. Pomaga ona w zaznajomieniu się z cosinusami, więc rozumiesz, jak się zachowują, ale tak naprawdę wcale nie musisz znać żadnej innej trygonometrii. Obiecuję. Cóż, jeszcze jedna rzecz: sinus kąta jest cosinus jego dopełnieniem. Np sin (32 °) = cos (90-32) = cos (58)).

Na koniec zauważ, że Ziemia jest obrotowo symetryczna względem swojej osi. To pozwala nam przywołać piękno Clairaut

Twierdzenie (1743): Na ścieżce na dowolnej gładkiej powierzchni obrotu iloczyn odległości do osi z sinusoidą łożyska jest stały wtedy i tylko wtedy, gdy ścieżka jest lokalnie geodezyjna.

Zatem, ponieważ zaczynamy na szerokości 54 stopni pod kątem 30 stopni, iloczyn twierdzenia jest równy cos (54) * R * sin (30) = 0,294 * R.

Jak to pomaga? Zastanów się, co by się stało, gdyby ścieżka miała być kontynuowana w przybliżeniu prosto na mapie . Wcześniej czy później osiągnie szerokość geograficzną 73 stopni. Za pomocą twierdzenia Clairauta możemy rozwiązać dla łożyska na tej szerokości geograficznej:

cos(73) * R * sin(bearing) = 0.294 * R;

sin(bearing) = 0.294 / cos(73) = 1;

bearing = 90 degrees.

To mówi, że zanim osiągniemy szerokość geograficzną 73 stopni, musimy podróżować na wschód ! Oznacza to, że ścieżka, aby być geodezyjną, musi zakrzywiać się tak mocno, że początkowy namiar wynoszący 30 stopni (wschód od północy) staje się 90 stopni (wschód od północy).

(Oczywiście znalazłem wartość 73 stopni, rozwiązując równanie cos (szerokość) = cos (szerokość) * sin (90) = cos (54) * sin (60). Aby to zrobić sam, musisz wiedzieć, że (a ) sin (90) = 1 (ponieważ sin (90) = cos (90-90) = cos (0) = 1) i (b) większość kalkulatorów i arkuszy kalkulacyjnych ma funkcję rozwiązywania cosinusów; nazywa się to ArcCos lub odwrotny cosinus. Mam nadzieję, że nie postrzegasz tego drobnego szczegółu jako złamania mojej wcześniejszej obietnicy, że nie będzie już wyzwalać ...)

Po wykonaniu kilku takich obliczeń rozwijasz intuicję, co mówi twierdzenie Clairauta. Ścieżka na powierzchni obrotu (jak Ziemia) może być geodezyjna (lokalnie najkrótsza lub „prosta”) tylko wtedy, gdy (a) jej łożysko staje się bardziej równoległe do południków w punktach daleko od osi i (b) jego łożysko staje się większe prostopadle do południków w punktach bliższych osi. Ponieważ istnieje granica tego, jak prostopadle można się dostać - 90 stopni! - istnieje granica, jak blisko osi można się dostać. Ta stała regulacja namiaru (= kąt do południka) i szerokości geograficznej (= odległość od osi) powoduje pozorną krzywiznę geodezji na większości map, szczególnie na tych, które używają rzutów cylindrycznych, gdzie południki i linie szerokości są renderowane odpowiednio jako linie pionowe i poziome.

Oto kilka prostych implikacji twierdzenia Clairauta. Sprawdź, czy możesz udowodnić je wszystkie:

1. Równik musi być geodezyjny.

2. Wszystkie południki są geodezyjne.

3. Żadna linia szerokości geograficznej, inna niż równik (i bieguny, jeśli chcesz je uwzględnić), może być geodezyjna. Nawet niewielka część linii szerokości geograficznej nie może być geodezyjna.

4. Loxodromy (inaczej linie rumb), które są liniami stałego namiaru, nie mogą być geodezyjnymi, chyba że są południkami lub równikiem. Nawet niewielka część takiego loksodromu nie może być geodezyjna. Innymi słowy, jeśli płyniesz lub latasz w ustalonym kierunku kompasu, to - z kilkoma oczywistymi wyjątkami - twoja ścieżka ciągle kręci się!

Punkt 4 mówi, że jeśli lecisz z Canadian Rockies na początkowym namiocie 30 stopni na wschód od północy, musisz wyglądać w stosunku do północy, aby ciągle skręcać (w prawo), aby lecieć prosto; nigdy nie pójdziesz na północ od 73 stopni szerokości geograficznej; a jeśli pójdziecie wystarczająco daleko, dotrzecie do Polski i po przybyciu tam będziecie kierować się około 150 stopni na wschód od północy. Oczywiście szczegóły - 73 stopnie i Polska i 150 stopni - są uzyskiwane tylko z ilościowego stwierdzenia twierdzenia Clairauta: zwykle nie można tego pojąć, używając intuicyjnej koncepcji geodezji.

Warto zauważyć, że wszystkie te wyniki dotyczą ogólnej sferoidy (powierzchni obrotu generowanej przez elipsę), a nie tylko doskonałych sfer. Z niewielkimi modyfikacjami trzymają tori (powierzchnie bajgli lub opon do ciężarówek) i wiele innych interesujących powierzchni. (Larry Niven, autor science-fiction, napisał powieść, w której przedstawiony jest mały sztuczny świat w kształcie torusa. Link zawiera obraz z okładki przedstawiający część tego świata.)

W tej projekcji (Google Mercator) tak wygląda wielki łuk między tymi dwoma miejscami.

Szybki dodatek:

Ponadto samoloty z Azji do USA leciałyby prawie nad biegunem północnym.

W tym kierunku często używają strumienia odrzutowego. W przeciwnym kierunku będą rzeczywiście latać nad / blisko biegunów.

http://en.wikipedia.org/wiki/Jet_stream

Projekcja Mercatora zniekształca bieguny http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection

więcej informacji Tissot's Indicatrix

Tak więc stromość jest bardziej ostra w ostatnich biegunach

http://en.wikipedia.org/wiki/Tissot%27s_Indicatrix

Widziałem bardzo eleganckie wyjaśnienie tego zjawiska na blogu Toma MacWright jest tutaj , ze zdjęciami pomarańczy. Wyjaśnij to 5-letniej wersji: „Na kuli ziemskiej najkrótsze ścieżki są płaskie, a linie nawigacyjne są zakrzywione. Mercator stworzył mapę, w której linie nawigacyjne są proste. To sprawiło, że najkrótsze ścieżki są kręte”.

Wynika to z rzutu płaszczyzny 2D na spolaryzowaną powierzchnię 2 kulek, gdy linia przesuwa się obok biegunów, ulega zniekształceniu w stosunku do obserwatorów płaszczyzny 2D, ponieważ prosta linia do miejsca docelowego wydaje się zakrzywiona Arka Wielkiego Kręgu, która jest terminem w matematyce odnoszącym się do największego koła, które można wyciąć z kuli, o ile okrąg przechodzi przez środek kuli. Nieznacznie modyfikuję obrazy podane w innych odpowiedziach, rysując linię w celu zilustrowania (raczej słabo, obawiam się, że jestem nowy w GIMP). Tak zwane zniekształcenie biegunowe. Myślę, że za podobną koncepcją stoją siły grawitacyjne, ale nie jestem fizykiem, więc nie mogłem powiedzieć.

Im bliżej biegunów znajduje się punkt, tym mniej zniekształcony wydaje się, gdy jest renderowany na płaskiej powierzchni 2D, choć nadal jest niewielki. Zależy to również od zastosowanej metody projekcji, a niektóre z nich koncentrują się na tym, aby najszybsza trasa między dwoma punktami wyglądała na płaską, a następnie zaokrąglała do tyłu na pełnym widoku sferycznym.