Ocena błędów obliczeń wykonanych przy użyciu danych niepoddanych projekcji w porównaniu z prognozami

To pytanie opiera się na jednym z tematu: „Obliczanie kierunku przepływu i wyznaczanie basenów na podstawie danych prognozowanych i nieprojektowanych”.: Obliczanie kierunku przepływu i wyznaczanie basenów na podstawie prognozowanych i nieprojektowanych danych DEM

Jest to jednak zupełnie osobne pytanie, ponieważ wspomniane pytanie wykazało, że występują problemy z użyciem algorytmów (np. ArcGIS Flow Direction), które zakładają odległość euklidesową od danych w sferycznym / nieprogramowanym geograficznym układzie współrzędnych.

Wiemy, że odwzorowania mapy są jak zabranie skórki pomarańczy i próba spłaszczenia jej na biurku - wystąpi błąd związany z odwzorowaniem mapy. Wygląda jednak na to, że korzyści z rzutowania kompensują wprowadzony błąd, szczególnie podczas wykonywania obliczeń, które zakładają kartezjańską / rzutowaną powierzchnię płaską. W tym przypadku algorytmem, który mnie interesuje, jest algorytm ArcGIS Flow Direction, który zakłada, że ​​twoje dane są rzutowane (i takie jest założenie przyjęte przez większość aplikacji na podstawie moich badań), ponieważ wykorzystuje podejście euklidesowe do obliczania odległości.

Moje pytanie brzmi : w jaki sposób można oszacować błąd, który można wprowadzić przy obliczaniu kierunku przepływu w danym obszarze badawczym przy użyciu niezprojektowanych danych DEM (dane DEM w układzie współrzędnych geograficznych) w porównaniu z danymi prognozowanymi (dane DEM w odpowiedniej projekcji, takiej jak UTM czy coś zgodnego)?

To prawda, że ​​można uzyskać raster kierunku przepływu przy użyciu niepoddanych projekcji, a następnie tych samych rzutowanych danych DEM. Ale co wtedy? Ponieważ naszym celem jest modelowanie powierzchni Ziemi tak dokładnie, jak to możliwe (i nie zajmujemy się żadnymi błędami, które mogą zostać wprowadzone w procesie tworzenia oryginalnego DEM itp. - o ile mi wiadomo, są one stałe) .... czy po prostu zakładamy, że dane dotyczące kierunku przepływu uzyskane z rzutowanego DEM są lepsze, a następnie porównujemy wartości poszczególnych komórek dwóch rastrów, aby określić, które komórki mają różne wartości kierunkowe (w kontekście normalnego modelu D-8 )? Sądzę, że aby to zrobić, musisz wziąć raster kierunku przepływu uzyskany z nieprojektowanych danych, a następnie zastosować ten sam rzut, który zastosowano w przypadku rastra rzutowanego kierunku przepływu.

Co byłoby najbardziej sensowne i do czego należy porównać nieproszony DEM jako punkt odniesienia dla dokładności?

Zagadnienie szczegółów matematycznych równań może, dla tych, którzy to rozumieją, dać dowód na poziomie gruntu i być wystarczającym dla niektórych, ale to, a także coś, co może przekazać błąd komuś, kto nie ma dogłębne zrozumienie matematyki, ale może po prostu wiedzieć wystarczająco dużo geografii / GIS, aby być niebezpiecznym, byłoby świetnie (idealnie oba poziomy byłyby dobre, które rezonowałyby z hardcorowymi geekami i przeciętnym dabblerem GIS). Dla ludzi z wyższego poziomu, powiedzenie, że dowód jest w matematyce, może pozostawia nieco otwartą dyskusję - szukam czegoś bardziej namacalnego (np. Powiązania kwoty w dolarach z jakąś nieefektywnością rządu).

Wszelkie przemyślenia i pomysły na temat tego, jak można to oszacować, byłyby bardzo mile widziane.

Tomek

Analiza została już przeprowadzona w odpowiedzi na poprzednie pytanie , ale być może ilustracja pomoże.

Istnieją dwa główne elementy błędu: algorytm „d8”, który reprezentuje przepływy tylko w ośmiu głównych kierunkach, oraz efekt projekcji (lub jej brak). Skupmy się na tym drugim, ponieważ wydaje się, że jest to główny problem.

Błąd zależy od zniekształceń w rzucie i od samego terenu. Lokalnie, na małym obszarze, wszystkie zniekształcenia związane z rzutowaniem na powierzchni Ziemi są rozciągnięte w jednym kierunku w porównaniu z kierunkiem prostopadłym: dlatego (odpowiednio obliczona) Wskaźnik Tissot jest idealną elipsą, ponieważ elipsa jest tylko rozciągniętym okręgiem. Teren może mieć dowolny aspekt (kierunek przepływu). Aby sobie z tym poradzić, spójrzmy na teren, który rzeczywiście ma punkty we wszystkich możliwych kierunkach za pomocą prostych linii przepływu: stożek .

Na tej cieniowanej kolorem mapie elewacji stożka nałożono zbiór usprawnień pokazujących kierunki przepływu wody. Możesz potwierdzić, że te usprawnienia są prawidłowe, sprawdzając, czy przecinają kontury pod kątem prostym.

Wybierając odpowiednie jednostki miary i odpowiedni początek układu współrzędnych (na wierzchołku stożka), równanie rzędnej w kategoriach współrzędnych (x, y) jest po prostu

z = -Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2).

Te linie prądu są zawsze równoległe do gradientu Z (w kierunku wstecznym), obliczany według następującego wzoru różnicowania w odniesieniu do X, i Y :

-Grad (z) = (x, y) / Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2).

Współczynnik 1 / Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) nie zmienia kierunku, więc możemy go zignorować w celu zrozumienia usprawnień. Tak więc, w dowolnym miejscu (x, y), linia usprawnienia wskazuje w kierunku (x, y).

Efektem poziomego rozciągnięcia współrzędnych (współczynnik 2 na tym zdjęciu) jest rozciągnięcie wszystkich konturów (bez zmiany poziomów konturu: rzuty nie wpływają na wysokości). Chociaż (oczywiście) kontury reprezentują prawdziwe koła, nie wyglądają już jak prawdziwe koła na mapie. Niemniej jednak, gdy linie przepływu są obliczane w tych współrzędnych, muszą przecinać kontury pod kątem prostym, tak jak poprzednio.

Efektem rozciągnięcia jest umieszczenie rzędnej w dowolnym punkcie współrzędnych (x, y) na nowych współrzędnych (rozciągnięcie x, y). Rozważ to odwrotnie: rzędna na współrzędnych (X, Y) = (odcinek x, y) musi być wartością z obliczoną dla (x, y) = (X / odcinek, Y). Dlatego równanie powierzchni pozornej w tym rzucie jest następujące

z = -Sqrt ((x / stretch) ^ 2 + y ^ 2).

Rozróżniamy, obliczamy

-Grad (z) = (x / stretch ^ 2, y) / Sqrt ((x / stretch) ^ 2 + y ^ 2).

Ponownie wspólny czynnik nie ma znaczenia; zatem w dowolnym miejscu (x, y) obliczona linia usprawnienia wskazuje w kierunku (x / odcinek ^ 2, y) . To była formuła użyta do narysowania usprawnień na poprzednim zdjęciu. Widać, że prawidłowo przecinają kontury pod kątem prostym.

Ten trzeci obraz jest reprodukcją poprzedniego obrazu. Powierzchnia jest ponownie wyświetlana bez zniekształceń. Wydaje się jednak, że usprawnienia nie przecinają konturów pod kątem prostym. Tak było nawet na poprzednim zdjęciu: z powodu zniekształceń w nim kąty wydawały się tylko kątami prostymi. Przez cały czas przejścia były nieprawidłowe. Dlatego brak wyświetlania (lub użycie projekcji niekonformalnej) jest błędem. Pytanie brzmi, jak duży może być błąd. Niektórzy twierdzą, że ma to niewielki wpływ (przynajmniej na niskich do umiarkowanych szerokościach geograficznych).

Ta ponowna projekcja (w celu usunięcia zniekształceń na mapie) przesuwa punkt w (x * stretch, y) z powrotem do (x, y). Kierunek strumienia obliczony wcześniej w tym punkcie został zapisany w siatce (jako kod kąta lub kierunku): nie zmienia się. Dlatego obliczony kierunek strumienia w (x, y) to (x / stretch ^ 2, y).

To określa ilościowo wpływ ponownej projekcji na wszystkie możliwe kierunki przepływu, co pokazuje różnica między pierwszą i ostatnią grafiką. Oto ich nakładka, bez wykresu konturowego dla odwrócenia uwagi:

Ponowne odrzucenie wpływa na kierunki w różny sposób, w zależności od tego, jak przepływ jest zorientowany w stosunku do głównej osi wskaźnika Tissot. Jest to funkcja kwadratowa względnego zniekształcenia liniowego w rzucie. Jako taki wyolbrzymia nawet niewielkie zniekształcenia. (Przedstawiony tutaj współczynnik dwóch jest nieco ekstremalny, ale realistyczny: jest to zniekształcenie wprowadzone przez brak rzutowania - to znaczy za pomocą współrzędnych geograficznych jako współrzędnych mapy - na szerokości 60 stopni.)

Przy odrobinie trygonometrii można wykorzystać te wyniki do obliczenia błędu kątowego w kierunku przepływu jako funkcji prawidłowego kierunku. Oto wykres błędów związanych z korzystaniem z geograficznego (nie rzutowanego) układu współrzędnych na szerokościach 20, 30, 40, 50 i 60 stopni. (Oczywiście większe błędy są związane z większymi szerokościami geograficznymi.)

„Prawdziwy kierunek” jest w stopniach na wschód od północy. Dodatnie różnice kątowe występują, gdy pozorny kierunek (obliczony bez rzutowania lat, lon) jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara od prawdziwego kierunku.

Pamiętaj, że musisz nałożyć na nie błędy d8!