Jaki jest obecny stan wiedzy w zakresie rozwiązywania parabolicznych PDE o wyższych wymiarach (wieloelektronowe równanie Schrödingera)

Jaki jest obecny stan techniki rozwiązywania wyższych wymiarów (3-10) parabolicznych PDE w złożonej dziedzinie z prostymi biegunami (w postaci ) i absorbujące warunki brzegowe?$\frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

W szczególności interesuje mnie rozwiązanie wieloelektronowego równania Schrödingera:

$\left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi$

Dla cząsteczki dwuatomowej z więcej niż 1 elektronem.

Rozwiązania dla równania znajdują się w Jeśli liczba elektronów jest wystarczająco mała, możesz po prostu użyć dowolnej tradycyjnej metody. Jak metoda dyskretyzacji domeny (różnica skończona, element skończony, element brzegowy) lub metoda pseudospektralna. Ponieważ rozwiązanie tego równania nie jest trudniejsze niż rozwiązanie wielowymiarowego równania falowego.

W przypadku większych systemów potrzebna jest sztuczka, aby uzyskać rozwiązanie. Zastępujemy interakcję elektron-elektron dla interakcji elektronu z chmurą elektronów (przybliżenie średniego pola dla reszty z nich), a następnie rozwiązujemy w sposób spójny (ze względu na nieliniowość pochodzącą od pola średniego) semestr). Odbywa się to w Hartree-Fock i teorii gęstości funkcjonalnej (DFT). Gdzie oryginalne równanie różniczkowe jest przekształcane w sformułowanie wariacyjne.

DFT jest obecnie najpopularniejszą metodą, a zaletą jest to, że wszystkie równania są formułowane w kategoriach gęstości elektronowej, a nie w postaci równań falowych. Tak więc równania leżą w trójwymiarowej przestrzeni. Jedną z książek opisujących obie te metody jest

• Thijssen, Jos. Fizyka obliczeniowa. Cambridge University Press, 2007. Link do Amazon .

Chcesz rozwiązać dla 3 do 10 układów cząstek (3D na cząsteczkę)? O ile mi wiadomo, teorie pola średniego nie działają szczególnie dobrze dla tak niewielu cząstek, ale wydaje się, że prace nad DFT dotyczyły cząsteczek dwuatomowych.

Czy jest to system, w którym obowiązuje Born-Oppenheimer? Jeśli tak, być może skłaniam się do rozszerzenia funkcji fali elektronicznej za pomocą liniowej kombinacji determinantów Slatera, ewentualnie za pomocą rzadkich siatek lub widmowych rzadkich siatek. Być może ten artykuł może pomóc .

Inną opcją jest próba zastosowania podejścia ściśle wiążącego, chociaż fakt, że wspomniałeś o absorbujących warunkach brzegowych sugeruje, że możesz myśleć o problemach związanych z jonizacją / dysocjacją. TB byłby najbardziej użyteczny, gdybyś próbował zbliżyć stany niskiego poziomu.

Być może coś takiego jak wielokonfiguracyjna zależna od czasu metoda Hartree-Focka mogłaby tutaj działać MCTDHF .

Na koniec możesz przyjrzeć się kwantowym metodom Monte Carlo. Są to metody uzyskiwania modeli funkcjonalnych wymiany i korelacji dla pojedynczych atomów w celu wykonania obliczeń DFT. Wygląda na to, że istnieją rozszerzenia wielojądrowe. (Brakuje mi uprawnień do linków).

$M$$3M$$N$$N$$N^{3M}$$M$$N=10$$10^9$

Z tego wynika, że ​​nie jest możliwe rozważenie problemu ze wszystkimi elektronami jednocześnie - należy ograniczyć się do jednego lub dwóch elektronów jednocześnie. To oczywiście prowadzi do takich metod, jak metoda Hartree Fock, która iteruje elektrony, utrzymując resztę układu w stałym położeniu.

Nie znam tej dziedziny wystarczająco dobrze, ale wyobrażam sobie, że istnieje wiele cytowanych i dobrze napisanych artykułów przeglądowych na ten temat.