Metody numeryczne dla nieciągłych ODE rs

jakie są najnowocześniejsze metody numerycznego rozwiązywania ODE z nieciągłą prawą stroną? Najbardziej interesują mnie częściowe gładkie funkcje prawej strony, np. Znak.

Próbuję rozwiązać równanie następującego typu:

\begin{aligned} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = {\begin{cases} (| F_{external} | - | F_{friction} |) sign (F_{external}) & : | F_{external} | < | F_{friction} | \\ 0 & : Inaczej \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} \dot x &= v\\ \dot v &= \begin{cases} (|F_\text{external}| - |F_\text{friction}|) \mathop{\rm sign} (F_\text{external}) & :|F_\text{external}| < |F_\text{friction}|\\ 0 & : \text{otherwise} \end{cases} \end{align*}$

ode Andrey Shevlyakov
źródło

Cześć @AndreyShevlyakov i witamy w Scicomp! Czy jest jakaś szczególna klasa ODE, którą jesteś zainteresowany?

Paweł

Cześć Paweł! Tak, obecnie próbuję wdrożyć rodzaj tarcia typu stick-slip.

Andrey Shevlyakov

Czy mógłbyś uwzględnić równania, które chcesz rozwiązać w swoim pytaniu? Pomoże to zawęzić metody stosowane w przypadku problemu.

Paweł

Dodałem przykład do postu

Andriej Szewlyakow

Kiedy pracowałem nad ACSL, zawierał on root-finder, abyś mógł poszukać czasu, w którym prędkość była równa zeru, a następnie zacząć od nowa od nowa z nowym rhs.

Mike Dunlavey,

Odpowiedzi:

Zobacz nową książkę Davida Stewarta (2011) na ten temat, Dynamika z nierównościami: uderzenia i twarde ograniczenia . Problemy z tarciem kulombowskim wymieniono kilkakrotnie w rozdziałach analizy.

Rozdział 8 poświęcony jest metodom numerycznym dla nie gładkich ODE i DAE. Opowiada się przede wszystkim za w pełni niejawnymi metodami Runge-Kutta ze specjalnym leczeniem nierównomierności. Uwaga Sekcja 8.4.4, która wskazuje, że jeśli nie zlokalizujesz dokładnie punktów braku gładkości, wszystkie metody obniżają się do dokładności pierwszego rzędu , dlatego ukryty Euler (z modyfikacjami dla braku gładkości) jest popularny w praktyce. Ponadto rozwiązania problemów z nieskończonymi nierównościami wymiarowymi nie są na ogół gładkie, dlatego teoria podaje tylko $\mathcal{O}(h)$ zbieżności, jednak w praktyce, $\mathcal{O}(h^{1/2})$ $\mathcal{O}(h)$ jest często obserwowany.

Jed Brown
źródło

Wielkie dzięki! Czy wiesz, czy gdzieś są dostępne wdrożenia?

Andrey Shevlyakov,

Nie wiem o tym, ale implementacja prostych schematów nie powinna być zbyt trudna, jeśli masz solver na statyczne nierówności wariacyjne.

Jed Brown

Najważniejszym znanym mi odniesieniem jest teza Davida Stewarta, która ma ponad 20 lat:

Metody numeryczne o wysokiej dokładności dla zwykłych równań różniczkowych z nieciągłym prawym bokiem

Streszczenie odwołuje się do kilku znaczących wcześniejszych prac. Słowem kluczowym jest tutaj włączenie różnicowe .

David Ketcheson
źródło

$g(t, x(t)) \in \mathbb{R}$ $>0$ $<0$

Na przykład, jeśli masz ruchomą masę z blokiem, odległość między masą a blokiem można wykorzystać jako funkcję przecięcia zera.

Wiele solverów ODE (np. CVDE SUNDIALS) automatycznie sprawdza, czy którakolwiek z funkcji przekraczania zera zmieniła swój znak podczas ostatniego kroku czasowego. W takim przypadku do znalezienia dokładnej lokalizacji katalogu głównego używana jest metoda znajdowania katalogu głównego. Solver można następnie zrestartować w tej konkretnej pozycji. Odbywa się to albo automatycznie przez solver, albo ręcznie przez kod wywołujący.

Florian Brucker
źródło

Do celów wyszukiwania: można również mówić o „lokalizacji zdarzenia”; Hairer / Nørsett / Wanner ma miłą dyskusję na ten temat.