Symboliczne pakiety oprogramowania dla wyrażeń Matrix?

Wiemy, że jest symetryczny i pozytywnie określony. Wiemy, że jest ortogonalny:$\mathbf A$$\mathbf B$

Pytanie: czy symetryczny i pozytywnie określony? Odpowiedź: Tak$\mathbf B \cdot\mathbf A \cdot\mathbf B^\top$

Pytanie: Czy komputer mógł nam to powiedzieć? Odpowiedź: Prawdopodobnie.

Czy istnieją jakieś symboliczne systemy algebry (takie jak Mathematica), które obsługują i propagują znane fakty dotyczące macierzy?

Edycja: Dla jasności zadaję to pytanie dotyczące abstrakcyjnie zdefiniowanych matryc. Tzn. Nie mam wyraźnych wpisów dla i B , po prostu wiem, że są to zarówno macierze, jak i szczególne atrybuty, takie jak symetryczny, pozytywnie określony itp.$A$$B$

Edycja: teraz jest w SymPy

$ isympy
In [1]: A = MatrixSymbol('A', n, n)
In [2]: B = MatrixSymbol('B', n, n)
In [3]: context = Q.symmetric(A) & Q.positive_definite(A) & Q.orthogonal(B)
In [4]: ask(Q.symmetric(B*A*B.T) & Q.positive_definite(B*A*B.T), context)
Out[4]: True

Starsza odpowiedź, która pokazuje inną pracę

Po dłuższej analizie to właśnie znalazłem.

Aktualna odpowiedź na moje konkretne pytanie brzmi: „Nie, nie ma obecnego systemu, który mógłby odpowiedzieć na to pytanie”. Jest jednak kilka rzeczy, które wydają się zbliżać.

Po pierwsze, Matt Knepley i Lagerbaer wskazali na prace Diego Fabregata i Paolo Bientinesi . Ta praca pokazuje zarówno potencjalne znaczenie, jak i wykonalność tego problemu. To dobra lektura. Niestety nie jestem pewien, jak dokładnie działa jego system ani do czego jest on zdolny (jeśli ktoś zna inne publiczne materiały na ten temat, daj mi znać).

Po drugie, istnieje biblioteka algebry tensorowej napisana dla Mathematica o nazwie xAct, która obsługuje symetrie i takie symbolicznie. Robi niektóre rzeczy bardzo dobrze, ale nie jest dostosowany do specjalnego przypadku algebry liniowej.

Po trzecie, reguły te są formalnie zapisane w kilku bibliotekach dla Coq , zautomatyzowanego asystenta dowodzenia twierdzeń (Google szuka algebry liniowej / macierzowej coq, aby znaleźć kilka). To potężny system, który niestety wydaje się wymagać interakcji człowieka.

Po rozmowie z niektórymi ludźmi dowodzącymi twierdzeniami sugerują przyjrzenie się programowaniu logicznemu (tj. Prologowi, który również sugerował Lagerbaer) dla tego rodzaju rzeczy. O ile mi wiadomo, nie zostało to jeszcze zrobione - mogę się z tym bawić w przyszłości.

Aktualizacja: Zaimplementowałem to za pomocą systemu Maude . Mój kod jest hostowany na github

Niektóre obliczenia macierzy symbolicznej (np. Uzupełnianie macierzy blokowej) można wykonać za pomocą pakietu NCAlgebra http://www.math.ucsd.edu/~ncalg/ (działającego pod matematyką).

Bergman http://servus.math.su.se/bergman/ to pakiet w Lisp o podobnych możliwościach.

Niektóre istotne dokumenty:
http://math.ucsd.edu/~helton/osiris/COMPALG2000/ohRevisIJC.pdf
http://math.ucsd.edu/~thesis/thesis/dkronewitter/dkronewitter.pdf
http: // www. tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00207170600882346

CAS2x23x3$\mathbf B$

Powstaje zatem pytanie, a co z Nmacierzą wymiarową? Może uda ci się wymyślić schemat indukcyjny, w którym N-1 x N-1zakłada się, że for jest prawdą, a następnie skonstruować nową macierz blokową o całkowitym rozmiarze, N x Naby udowodnić, że jest ona pozytywnie określona i symetryczna.

Więc ostatnie pytanie, które oprogramowanie lepiej nadaje się do tego zadania (jeśli w ogóle), moje doświadczenie było z ( MATLAB/MuPadi Derivenadal go używa) i żadne z nich nie radzi sobie dobrze z wektorami i macierzami. MATLABdzieli wszystko na komponenty i Derivemoże deklarować, Non-scalarsale nie stosuje wobec nich żadnych zasad uproszczenia.

$\vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec b)\vec c - (\vec a \cdot \vec c) \vec b$

Minęło trochę czasu, odkąd ostatni raz użyłem jednego z tych pakietów, ale pomyślałem, że możesz to zrobić w językach takich jak Mathematica, używając asercji. Coś w rodzaju Assert [A, Symmetric] mówi Mathematica, że ​​A jest macierzą symetryczną i tak dalej. W tej chwili nie mam dostępu do żadnej przydatnej opcji, więc należy to sprawdzić.

Klon 15 nie może tego zrobić. Nie ma właściwości „Ortogonalne” dla macierzy (chociaż ma Symmetric i PositiveDefinite).

W Mathematica możesz przynajmniej sprawdzić te właściwości dla określonych matryc. Na przykład macierz, Ajak opisano:

In[1]:= A = {{2.0,-1.0,0.0},{-1.0,2.0,-1.0},{0.0,-1.0,2.0}};
        {SymmetricMatrixQ[A],PositiveDefiniteMatrixQ[A]}
Out[2]= {True,True}

Dla matrycy B:

In[3]:= B = {{0, -0.80, -0.60}, {0.80, -0.36, 0.48}, {0.60, 0.48, -0.64}};
        Transpose[B] == Inverse[B]
Out[4]= True

Następnie:

In[5]:= c = B.A.Transpose[B];
        {SymmetricMatrixQ[c],PositiveDefiniteMatrixQ[c]}
Out[6]= {True,True}

Matryce matematyczne i dokumentacja algebry liniowej