Złożona analiza numeryczna

10

Jakie sytuacje analizy numerycznej stają się bardziej / mniej stabilne, mają szybszą / wolniejszą zbieżność lub w inny sposób są zupełnie inne w przypadku funkcji zmiennej złożonej zamiast funkcji zmiennej rzeczywistej?

algorithms vtt
źródło
Twoje pytanie jest trochę niejasne ... Czy możesz zasugerować konkretną „sytuację” lub „algorytm”, o której myślisz? Bardzo pomogłoby nam odpowiedzieć na twoje pytanie.
Paweł
Jedyny przypadek, w którym złożonym cyfra w numerycznych wiem są równaniami Maxwella, ale nie ma wewnętrzną trudność tylko przez niektórych liczb będących w . Jeśli jednak zastąpisz wszystkie liczby zespolone rzeczywistymi wektorami lub macierzami, zobaczysz, że mnożenie przez liczbę zespoloną staje się mnożeniem przez macierz skośno-symetryczną. Nie wiem, czy to coś sugeruje. do
shuhalo
2
@Martin: Pole złożone jest naturalnym ustawieniem wielomianów ze względu na podstawowe twierdzenie algebry. Ponieważ wartości własne macierzy są pierwiastkami charakterystycznego wielomianu i są na ogół złożone nawet dla prawdziwych macierzy, algebra liniowa jest najbardziej naturalnie zbudowana na złożonym polu.
Jack Poulson
1
Z drugiej strony obserwuj na przykład algorytm QR z podwójną zmianą, który dokładnie przesuwa się w celu uniknięcia stosowania złożonej arytmetyki. Zobacz także kwadratowy algorytm Jenkinsa-Trauba, który został zaprojektowany do znajdowania złożonych korzeni wielomianów pary sprzężonej na raz ...
JM
Jestem nieco rozdarty, ponieważ aby dodać jeszcze więcej zamieszania do miksu, zdarza się, że liczby zespolone są po prostu traktowane jako pary liczb rzeczywistych do celów księgowych.
Geoff Oxberry

Odpowiedzi:

7

Złożone zróżnicowanie numeryczne jest stabilne, w przeciwieństwie do rzeczywistego zróżnicowania numerycznego.

Patrz strony 32-33 „Stosowanej i kompleksowej analizy złożonej” tom 3, Peter Henrici,

„The Complex-Step Derivative Approximation”, JOAQUIM RRA MARTINS, PETER STURDZA i JUAN J. ALONSO,

oraz ten artykuł w Wikipedii na temat metod zmiennych złożonych do numerycznego różnicowania.

vtt
źródło
Ponadto numeryczne zastosowanie wzoru na różnicowanie Cauchy'ego jest czasem wykonalnym algorytmem. Zobacz także metody Lyness i innych, które opierają się na szybkiej transformacie Fouriera do obliczania współczynników Taylora funkcji (czyli oceny sekwencji pochodnych o danej wartości).
JM
Z ciekawości, oprócz artykułu z Wikipedii, czy są jakieś zasoby online, na które możesz nas wskazać?
Geoff Oxberry
1
@Geoff: To i ta sprawa z podejściem Lynse do różnicowania; ten artykuł autorstwa Squire i Trapp to oryginalny artykuł opisujący podejście „złożonego kroku” do różnicowania numerycznego.
JM
3

Arytmetyka złożonych interwałów wykorzystuje różne rodzaje interwałów, np. Prostokątne lub kołowe, więc należy wziąć pod uwagę więcej niż w przypadku rzeczywistych interwałów.

„Arytmetyka przedziałów złożonych i jej zastosowania”, Miodrag Petković, Ljiljana Petković

vtt
źródło
2
Po co odpowiadać trzy razy na własne pytanie zamiast odpowiadać na wszystkie trzy komentarze naraz?
Jack Poulson
1

Artykuł:

„Algorytmy numeryczne oparte na teorii zmiennej zespolonej”, JN Lyness - Materiały z 22. konferencji krajowej w 1967 r., 1967 r.

vtt
źródło