Pytanie o macierz kowariancji 2 sygnałów przestrzennych

Za każdym razem, gdy myślę, że rozumiem macierz kowariancji, pojawia się ktoś inny z innym sformułowaniem.

Obecnie czytam ten artykuł:

J. Benesty, „Adaptacyjny algorytm rozkładu wartości własnej do pasywnej lokalizacji źródła akustycznego” , J. Acoust. Soc. Jestem. Tom 107 , wydanie 1, s. 384–391 (2000)

i natknąłem się na sformułowanie, którego nie do końca rozumiem. Tutaj autor konstruuje macierz kowariancji między dwoma sygnałami i . Te dwa sygnały pochodzą z różnych czujników.$x_1$$x_2$

W przypadku macierzy kowariancji jednego sygnału wiem, że możemy ją uzyskać, obliczając macierz regresji, a następnie pomnożąc ją przez pustelnik tej samej macierzy i dzieląc przez długość oryginalnego wektora. Wymiary macierzy kowariancji tutaj może być dowolna, o maksymalnej wielkości czym .$N$$N\times N$

W przypadku macierzy kowariancji dwóch sygnałów przestrzennych, jeśli umieścimy pierwszy sygnał w pierwszym rzędzie, a drugi sygnał w drugim rzędzie macierzy, następnie pomnożymy przez jego pustelnik, a także podzielimy przez , to otrzymamy macierz kowariancji obu sygnałów przestrzennych.$N$$2\times 2$

Jednak w tym artykule autor oblicza coś, co wygląda na cztery macierze: i , a następnie umieszcza je w super macierzy i nazywa to macierzą kowariancji .$R_1{}_1, R_1{}_2, R_2{}_1$$R_2{}_2$

Dlaczego tak jest? Oto obraz tekstu:

Jeśli masz dwa wektory sygnałowe i każdy z elementów, możemy rozważyć dwie różne rzeczy.$x_1[n]$$x_2[n]$$N$

1. Jak porównują ilości ? W szczególności, gdy sygnały są zaszumione, a szumy można uznać za wspólnie nieruchome (lub wspólnie szeroko zakrojone stacjonarne), wielkości te można wykorzystać do oszacowania wariancji hałasu w obu sygnałach, a także kowariancji szumów przy dowolny ustalony czas próbkowania. Oto, co otrzymujesz z macierzy kowariancji Hałas w ma wariancję która może być inna niż$\displaystyle\sum_{n=1}^N x_i[n]x_j[n],~ i, j \in \{1,2\}$$2\times 2$

   $$R_{2\times 2} = \left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & C\\ C & \sigma_2^2\end{matrix}\right].$$ $x_1[n]$$\sigma_1^2 = R_{1,1}$$R_{2,2} = \sigma_2^2$ , wariancja hałasu w . Jednak hałasy są skorelowane z kowariancji . Teraz, jeśli planujemy robić rzeczy z tym, co dzieje się w , ignorując wszystko, co może się dziać w lub itd., To są to wszystkie informacje, których potrzebujemy.$x_2[n]$$R_{1.2}=R_{2,1} = C$$n$$n-1$$n+1$

2. O ile nie wiadomo, że hałas jest (lub przyjmuje się, że) biały szum, tak że próbki hałasu z różnych instancji próbkowania są niezależne (a zatem nieskorelowane) lub po prostu zakładamy, że nieskorelowane próbki hałasu, istnieje informacja, którą ignorujemy, nie uwzględniając korelacji między a , próbki z tego samego procesu w różnych czasach lub lokalizacjach oraz korelacja między i , próbki z dwóch procesów w różnych czasach lub lokalizacjach. Te dodatkowe informacje mogą prowadzić do lepszego oszacowania / rozwiązania. Teraz mamy w sumie próbek szumu, a zatem$x_1[n]$$x_1[m]$$x_1[n]$$x_2[m]$$2N$$2N \times 2N$macierz kowariancji do rozważenia. Jeśli załatwimy sprawy tak, jak zrobili to autorzy, mamy gdzie i tak gdzie . Zauważ, że jest w istocie funkcją korelacji krzyżowej i if$R_{\text{full}} = E[XX^T]$

   $$X = (x_1[1],x_1[2],\ldots,x_1[N],x_2[1],x_2[2],\ldots,x_2[N])^T = (\mathbf x_1,\mathbf x_2)^T$$ $$R_{\text{full}} = \left[ \begin{matrix}R_{\mathbf x_1,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_1,\mathbf x_2}\\ R_{\mathbf x_2,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_2,\mathbf x_2}\end{matrix} \right]$$ $R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j} = E[\mathbf x_i\mathbf x_j^T]$$R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j}$$(x_i[1],x_i[2],\ldots,x_i[N])$$(x_j[1],x_j[2],\ldots,x_j[N])$$i \neq j$ oraz funkcja autokorelacji, jeśli . Jeśli procesy hałasu są białe i nieskorelowane, z wyjątkiem gdy , to gdzie jest macierzą tożsamości , a i mają znaczenie zdefiniowane w punkcie 1 powyżej. O tym, jak realistyczny może być ten model hałasu, decyduje użytkownik końcowy. Jeśli model jest realistyczny, nic nie zyskuje, patrząc na macierz$i = j$$n = m$ $$R_{\text{full}} \rightarrow R_{\text{simple}} = \left[ \begin{matrix}\sigma_1^2I & CI\\ CI & \sigma_2^2I \end{matrix}\right]$$ $I$$N\times N$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$ ponieważ wszystkie informacje znajdują się w macierzy w punkcie 1 powyżej. Podobnie, jeśli model jest nierealny, ale nie zamierzamy (lub nie jesteśmy w stanie) wykorzystać wszystkich informacji w pełnej macierzy ; poradzimy sobie tylko z i z części 1, dla których nie potrzebujemy lub , po prostu .$2\times 2$$R_{2\times 2}$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$R_{\text{full}}$$R_{\text{simple}}$$R_{2\times 2}$