Pola matematyki potrzebne do projektowania filtrów cyfrowych

Chcę nauczyć się projektowania filtrów cyfrowych. Moja wiedza z matematyki jest na poziomie szkoły średniej. Mogę nauczyć się matematyki przez Internet. Zatem jakich dziedzin matematyki muszę się nauczyć?

Jeśli masz piłki do samodzielnej nauki matematyki. Dwa pola matematyki, które należy zdominować, aby zaprojektować filtr, to: analiza funkcjonalna i optymalizacja wypukła. Prawie każdy projekt filtra jest wynikiem problemu z optymalizacją, na przykład: Znajdź ten zestaw$N$liczby takie, że wartość bezwzględna transformacji Fouriera w tym obszarze częstotliwości ma następujący kształt (między tymi dwoma granicami, gdy częstotliwość wynosi od 0 Hz do 320 Hz, i między tymi dwoma innymi, gdy częstotliwość jest większa niż 340 Hz). Lub jaki jest zestaw$N$ liczby takie, że przy zastosowaniu dyskretnego splotu sekwencji liczb do tego sygnału $x(n)$, wynikiem jest ten sygnał $y(n)$. Istnieje wiele innych sposobów ich definiowania.

Będziesz potrzebować analizy funkcjonalnej, aby zrozumieć, jak modelować sygnał, jak modelować system oraz jak modelować interakcje i operacje między sygnałami (transformacje, zwoje itp.).

Mam nadzieję, że to pomoże.

Rozpocząć:

Liczby zespolone

Odpowiedź częstotliwościowa filtra jest łatwiejsza do zrozumienia o wartościach zespolonych, opisująca zarówno odpowiedź częstotliwościową wielkości, jak i odpowiedź częstotliwościową fazy. Będziesz mógł zrozumieć bieguny i zera, które mogą być złożone. Liczby zespolone umożliwiają uzyskanie ujemnych częstotliwości, co uprości matematykę.

Trygonometria

$\sin$, $\cos$ i ich związek ze złożonym wykładniczym $e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i\sin(\alpha)$są ważne. Funkcje sinusoidalne zostaną przepuszczone przez filtry z zachowaniem jedynie ich amplitudy i fazy.

Różnicowanie

Aby ustalić, przy jakiej częstotliwości prosty filtr osiąga szczyt lub zapad, możesz rozwiązać przy jakiej częstotliwości pochodna jego częstotliwościowej odpowiedzi częstotliwościowej wynosi zero.

Integracja

Konieczna jest integracja transformacji Fouriera i odwrotnej transformaty Fouriera.

Transformata Fouriera

Transformacja Fouriera pozwala przejść od odpowiedzi impulsowej do odpowiedzi częstotliwościowej i odwrotnie. Także rzeczy, które robisz w dziedzinie czasu, często mają prosty odpowiednik w dziedzinie częstotliwości i odwrotnie.

@George Theodosiou: Zamiast nurkować na różnego rodzaju matematykach o dużej mocy (tylko część z nich będzie dla Ciebie przydatna), sugeruję zacząć od przeczytania porządnej książki dla początkujących w DSP. Takie jak popularne książki „Zrozumienie cyfrowego przetwarzania sygnałów” lub „Przewodnik naukowców i inżynierów po cyfrowym przetwarzaniu sygnałów”. Te książki łyżką karmią czytelnika, powoli i delikatnie, matematykę potrzebną do rozpoczęcia nauki DSP. Następnie, gdy napotkasz jakieś równanie w tych książkach, które Cię intrygują, możesz przejść do Internetu i głębiej nauczyć się matematyki tego konkretnego równania.

George, jeśli twoje pragnienie nauki filtrowania cyfrowego jest szczere i zachowujesz entuzjazm, odniesiesz sukces. Cytując Susan B. Anthony, „Niepowodzenie jest niemożliwe”. Powodzenia.

Wielkie podziękowania dla tych, którzy odpowiedzieli, skomentowali i przeglądali moje pytanie. Moja odpowiedź brzmi: muszę zacząć od analizy funkcjonalnej, jak sugeruje pan Bone. Pamiętam z liceum, że gdy wielomian x jest zrównany zy, daje funkcję x zy. Pamiętam też podstawowe twierdzenie algebry o rzeczywistych współczynnikach. Wtedy mogę zacząć od tej wiedzy.

W przypadku projektowania filtrów cyfrowych doceniam powyższe odpowiedzi i chciałbym dodać kilka pól.

Po pierwsze, ograniczmy się do segregowania liniowego. Liniowość wraz z niezmiennością czasową są podstawowymi założeniami. Dzięki nim przestrzenie wektorowe, splot (całki i szeregi) oraz transformaty Fouriera (część analizy funkcjonalnej ze złożoną trygonometrią adn) stają się narzędziami naturalnymi. Twierdzę, że te narzędzia są naturalnymi konsekwencjami liniowości / niezmienności w czasie, jeśli je dostaniesz, delikatnie poprowadzisz Cię do narzędzi, których potrzebujesz. Optymalizacja jest dość powszechna w projektowaniu filtrów.

Z boku możesz mieć na uwadze dodatkowe pola. Możesz być zainteresowany projektowaniem filtrów komplementarnych o różnych szybkościach, a projektowanie filtrów wielowirnikowych może prowadzić do faktoryzacji macierzy, która jest przydatna również w strukturach filtrów (sieci, drabinie) i faktoryzacji spektralnej. Jeśli przejdziesz do implementacji w systemie rzeczywistym (FPGA, mikrokontroler), możesz zanurkować w arytmetyki liczb stałych lub liczb całkowitych. Oczywiście teoria próbkowania jest wymogiem pierwszego rzędu, szczególnie jeśli chodzi o wielowymiarowość (przetwarzanie obrazu). Można nawet dotknąć wyższej matematyki, stosując układy wielomianowe i podstawy Gröbnera .

Bardzo mi się podoba, za podstawowe matematyczne i czyste wprowadzenie do wielu tematów, Analiza Gasiera i Witomskiego Fouriera oraz aplikacje: Filtrowanie, Obliczenia numeryczne, Falki .

Dodam jeszcze mniej wspomniany problem: jednym dużym pytaniem jest często liczba uderzeń i precyzja (liczba bitów na współczynnik) wymagana do spełnienia określonego projektu filtra. Dwa źródła:

• Ichige i in. Dokładne oszacowanie minimalnej długości filtra dla optymalnych filtrów cyfrowych {FIR} , Transakcje IEEE w obwodach i systemach II: Przetwarzanie sygnałów analogowych i cyfrowych, 2000
• Bellanger, O złożoności obliczeniowej w filtrach cyfrowych , 1981