Jak radzisz sobie z częstotliwościami ujemnymi w spektrum mocy złożonego sygnału?

Kiedy zastosujemy operację DFT na rzeczywistym sygnale aby uzyskać , a następnie weźmy kwadratową wielkość , , widmo mocy jest symetryczne. Częstotliwości dodatnie lub ujemne można przyjąć jako informację o częstotliwości w . $x[n]$ $X[k]$ $X[k]$ $\lvert X[k]\rvert^2$ $X[k]$

Nie dotyczy to jednak sygnałów o złożonej wartości; widmo mocy nie jest symetryczne.

W takim przypadku, jak określiłbyś składowe częstotliwości w oryginalnym sygnale?
Czy możemy po prostu upuścić część częstotliwości ujemnej?

fft frequency-spectrum Mikrofon
źródło

Zauważ, że dodatnie i ujemne częstotliwości są liniowymi kombinacjami sinusa i cosinusa, dlatego też dodatnie i ujemne częstotliwości są wymagane do uzyskania właściwej fazy. W przypadku sygnałów złożonych należy dodać moc na obu częstotliwościach, aby uzyskać całkowitą moc na tej częstotliwości.

Christopher Crawford

Odpowiedzi:

Dla prawdziwego sygnału zawartość przy ujemnych częstotliwościach generowanych przy użyciu DFT jest zbędna. Wynika to z dobrze znanej właściwości sygnałów rzeczywistych w odniesieniu do rodziny transformat Fouriera: ich transformacje są hermetyczne symetryczne . Oznacza to, że dla każdego sygnału rzeczywistego , $x[n]$

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N} = (\sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j (- 2 π n k / N)})^{*} = X [- k] = X [N - k]

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{-j2\pi n k / N} = (\sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{-j(-2\pi n k / N)})^* = X[-k] = X[N - k]$

Tak więc, jeśli twój sygnał wejściowy jest prawdziwym sygnałem, wszystkie informacje znajdują się w dodatnich przedziałach częstotliwości; ujemne częstotliwości można odrzucić w wielu zastosowaniach. Jednak nie ma takiej właściwości dla ogólnych sygnałów złożonych. Mogą mieć widma mocy, które są asymetryczne względem częstotliwości zerowej, więc nie możesz odrzucić żadnego z przedziałów częstotliwości widma mocy złożonego sygnału bez utraty informacji.

Jason R.
źródło

X [k]

$X[k]$

X [N - k]

$X[N-k]$

X [N - k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n (N - k) / N} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π N n / N} e^{j 2 π n k / N} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{j 2 π n k / N} = (X [k])^{*}

$X[N-k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{-j2\pi n (N-k) / N} = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi N n/N} e^{j2\pi n k / N} =\sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{j2\pi n k / N}=(X[k])^*$

X [- k]

$X[-k]$

X [N - k]

$X[N-k]$

W przypadku wartości rzeczywistej możemy upuścić np. W praktyce, gdy używasz analizatora widma, dla fali rzeczywistej łatwiej jest zobaczyć połowę, ponieważ druga strona jest lustrem. Ale w przypadku złożonego sygnału nie ma rzeczywistych odpowiedzi urządzenia i masz teoretyczne studia, więc powinieneś zachować obie strony.

Hossein
źródło

jeśli mam jeden złożony sygnał złożony z dwóch bliskich częstotliwości, w PSD stwierdziłem, że strona częstotliwości dodatniej pokazuje dwa piki, podczas gdy strona ujemna pokazuje jeden pik. Czy mogę zatem dojść do wniosku, że sygnał ma dwie częstotliwości?

Mike

Nie, nie możesz powiedzieć, ponieważ sygnał jest złożony.

Hossein

jakie jest fizyczne znaczenie częstotliwości ujemnej?

Mike

@Mike dsp.stackexchange.com/questions/431/…

GummiV

@Mike I believe I may have answered that... [please see] (dsp.stackexchange.com/questions/431/…)

Spacey