„Złożone próbkowanie” może złamać Nyquist?

Słyszałem anegdotycznie, że złożone sygnały próbkowania nie muszą podążać za częstotliwościami próbkowania Nyquista, ale faktycznie można je uzyskać z połową częstotliwości próbkowania Nyquista. Zastanawiam się, czy jest w tym jakaś prawda?

Z Nyquist wiemy, że aby jednoznacznie próbkować sygnał, musimy próbkować co najmniej wyższą niż dwukrotność przepustowości tego sygnału. (Definiuję przepustowość tutaj, tak jak robią to w linku wiki , czyli zajęcie dodatniej częstotliwości). Innymi słowy, jeśli mój sygnał istnieje od -B do B, muszę próbkować co najmniej> 2 * B, aby zaspokoić nyquist. Gdybym zmiksował ten sygnał do fc i chciałem wykonać próbkowanie pasmowe, musiałbym próbkować co najmniej> 4 * B.

To wszystko świetnie nadaje się do prawdziwych sygnałów.

Moje pytanie brzmi: czy istnieje jakaś prawda w stwierdzeniu, że złożony sygnał pasma podstawowego (czyli taki, który istnieje tylko po jednej stronie spektrum częstotliwości) nie musi być próbkowany z częstotliwością co najmniej> 2 * B, ale może w rzeczywistości być odpowiednio pobierany próbka co najmniej> B?

(Wydaje mi się, że w takim przypadku jest to po prostu semantyka, ponieważ nadal musisz pobrać dwie próbki (jedną rzeczywistą i jedną fikcyjną) na czas próbki, aby w pełni reprezentować wirujący fazor, a tym samym ściśle przestrzegać Nyquista. .)

Jakie są Twoje myśli?

Twoje zrozumienie jest poprawne. Jeśli częstotliwością , to tylko z rzeczywistymi próbkami, możesz jednoznacznie reprezentować zawartość częstotliwości w regionie (chociaż zastrzeżenie, które pozwala na próbkowanie nadal obowiązuje). Żadna dodatkowa informacja nie może być przechowywana w drugiej połowie widma, gdy próbki są rzeczywiste, ponieważ rzeczywiste sygnały wykazują sprzężoną symetrię w dziedzinie częstotliwości; jeśli twój sygnał jest prawdziwy i znasz jego spektrum od do , możesz trywialnie stwierdzić, jaka jest druga połowa jego spektrum.$f_s$$[0, \frac{f_s}{2})$$0$$\frac{f_s}{2}$

Nie ma takiego ograniczenia dla sygnałów złożonych, więc złożony sygnał próbkowany z częstotliwością może jednoznacznie zawierać treść od do (dla całkowitej szerokości pasma ). Jak już zauważyłeś, nie ma tutaj nieodłącznej poprawy wydajności, ponieważ każda złożona próbka zawiera dwa składniki (rzeczywiste i urojone), więc chociaż potrzebujesz o połowę mniej próbek, każdy wymaga dwa razy więcej miejsca na dane, co anuluje wszelkie natychmiastowe korzyści. Złożone sygnały są jednak często używane w przetwarzaniu sygnałów, gdy występują problemy, które dobrze odwzorowują tę strukturę (na przykład w systemach komunikacji kwadraturowej).$f_s$$-\frac{f_s}{2}$$\frac{f_s}{2}$$f_s$

Istnieje również proste podejście, aby to wyjaśnić: jeśli rzeczywisty sygnał w paśmie podstawowym ma widmo od -B do + B, próbkujesz za pomocą 2B, więc upewniasz się, że widma powtórzeń widma nie pokrywają się. Nakładanie się oznaczałoby, że otrzymujesz aliasing i nie możesz zrekonstruować pierwotnego spektrum.

Teraz ze złożonym sygnałem zakresy widma, jak wspomniał Jason, od 0 do B. (Teoretycznie może mieć również widmo przy ujemnych częstotliwościach, ale w większości praktycznych przypadków będzie to od 0 do B.) Jeśli próbkujesz z współczynnik B, ponieważ w pierwotnym spektrum nie ma części o ujemnych częstotliwościach, powtórzenia widma nie będą się nakładać -> możliwa jest jednoznaczna rekonstrukcja!

Powiedziałbym, że jest to kwalifikowane „nie”, w tym sensie, że liczba pojedynczych rzeczywistych próbek nie została właściwie wyjaśniona, podobnie jak cel wyboru częstotliwości digitalizacji sygnału.

Po pierwsze, wszystkie sygnały ze świata rzeczywistego są rzeczywiste, a nie złożone. Oznacza to, że za każdym razem, gdy mamy do czynienia ze złożoną reprezentacją, faktycznie mamy dwa (rzeczywiste) punkty danych, które należy uwzględnić w limicie „Nyquista”.

Drugi problem to „częstotliwości ujemne”, postrzegane z pasma podstawowego. Prawie całe nauczanie próbkowania odbywa się z perspektywy pasma podstawowego, więc częstotliwości zwykle wynoszą 0..B, a następnie próbkowane są przy fs. Częstotliwości ujemne są w pewnym stopniu ignorowane (przy użyciu złożonej tożsamości sprzężonej).

Można myśleć o sygnale pasma podstawowego, jakby był on modulowany przy częstotliwości zerowej, jednak rozpoczęcie modulacji nośnej w nominalnym punkcie fs / 2 może być oświetlone, ponieważ widzimy wtedy dwa pasma boczne i (matematyczny) złożony termin z kariera. Poprzednio ujemna częstotliwość uległa zmianie. I możemy już nie mieć złożonej tożsamości sprzężonej.

Jeśli złożona tożsamość sprzężona zostanie wyeliminowana, nie będziemy już składać częstotliwości i mamy proste zawijanie aliasingu.

Zatem jeśli próbkowany jest rzeczywisty sygnał HF w celu demodulacji złożonej reprezentacji, bez składania, w pewnym sensie uzyskujemy szerokość pasma fs / 4 (+/- B). Na każde 4 próbki danych (0, 90, 180, 270 stopni) wyprowadzamy dwie wartości, które reprezentują składowe fazowe (0 - 180) i kwadraturowe (90 - 270) całej złożonej próbki.

W całkowicie złożonym świecie, jeśli sygnał jest złożony, częstotliwość próbkowania jest złożona, co daje dwukrotność warunków. Zależy to od tego, jakie cechy matematyczne potrzebujesz z próbkowanego sygnału.