Warunki macierzy wstępnego kodowania w celu zachowania złożonej symetrii sprzężonej w wektorze DFT

Załóżmy, że istnieje wektor DFT o długości N, który przedstawia złożoną symetrię sprzężoną wokół jego środkowego punktu, tj. , i tak dalej. i są odpowiednio częstotliwością prądu stałego i częstotliwością Nyquista, dlatego są liczbami rzeczywistymi. Pozostałe elementy są złożone.$\mathbf{X}$$X(1) = X(N-1)^*$$X(2) = X(N - 2)^*$$X(0)$$X(N/2)$

Załóżmy teraz, że istnieje macierz o rozmiarze , która zwielokrotnia wektor X.$\mathbf{T}$$N \times N$

$$\begin{align} \mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{X} \end{align}$$

Pytanie brzmi:

W jakich warunkach dla macierzy zachowana jest złożona symetria sprzężona wokół środkowego punktu wynikowego wektora ?$\mathbf{T}$$\mathbf{Y}$

Motywacją tego pytania jest próba wymyślenia macierzy wstępnego kodowania która daje w wyniku wstępnie zakodowany (wstępnie wyrównany) symbol którego IFFT jest prawdziwy.$\mathbf{T}$$\mathbf{Y}$

EDYTOWAĆ:

Dzięki @MattL. i @niaren. Trudność związana z tym pytaniem polega na znalezieniu niezbędnych warunków. Odpowiedź Matta jest rzeczywiście wystarczająca. Wystarczy również wprowadzić następujące modyfikacje:

Pierwszy wiersz i pierwsza kolumna nie muszą mieć wartości zero. Zamiast tego mogą być niezerowe, o ile ich wartości przedstawiają złożoną symetrię sprzężoną wokół punktu środkowego, jego pierwsza wartość jest prawdziwa, a jej -ta wartość jest prawdziwa, podobnie jak symbol. To samo można powiedzieć o -tej kolumnie, -tym rzędzie i głównej przekątnej.$(N/2+1)$$(N/2+1)$$(N/2+1)$

Po drugie, ta sama zgodność między macierzą w lewym górnym rogu i prawym dolnym rogu może być wykonana między prawym górnym rogiem a lewym dolnym rogiem, to znaczy, wybierz macierz zaczynając od do , odwróć od lewej do prawej, odwróć do góry nogami i weź koniugat, a następnie umieść w lewym dolnym rogu. W MATLAB byłoby to:$(N/2 -1)\times(N/2-1)$$t_{2,N/2 + 2}$$t_{N/2,N}$

T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))

Ta struktura jest podobna do struktury matrycy DFT. Czy byłby to konieczny warunek?

EDYCJA (2):

Poniższy kod implementuje taki poprawny operator dla dowolnej macierzy macierzy :$N \times N$$\mathbf{A}$

N = 8;  
A = rand(N,N); %must be real-valued  
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor  
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix  
T = W*A*W'

EDYCJA (3):

Warto również zauważyć, że przedstawia wystarczający warunek. Wynika to z faktu, że:$\mathbf{T}^{-1}$

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \mathbf{\left(W A W^{H}\right)}^{-1}\\ &= \mathbf{\left(W^{H}\right)}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W}^{-1} \end{align}$$ gdzie to macierz DFT.$\mathbf{W}$

Ponieważ . To równanie staje się:$\mathbf{W^{H}} = N\mathbf{W}^{-1}$

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \left(N\mathbf{W}^{-1}\right)^{-1} \mathbf{A}^{-1} \frac{1}{N}\mathbf{W^{H}}\\ &= \mathbf{W} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W^{H}} \end{align}$$

Wreszcie, ponieważ ma prawdziwą wartość, pod warunkiem, że ma pełną rangę, jest wystarczający.$\mathbf{A}^{-1}$$\mathbf{A}$$\mathbf{T}^{-1}$

Myślę, że wpisy w twojej macierzy muszą być zgodne . To znaczy, że wpisy w wierszu są takie same jak współczynniki w rzędzie n, ale gdzie współczynniki są sprzężone i odwrócone. Wzór w dla to$\bf{T}$$a_{N-n+1,N-m+1} = a^*_{n,m}$$N-n+1$$\bf{T}$$N=4$

$T_4 = \left[ \begin{smallmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a^*_{24}&a^*_{23}&a^*_{22}&a^*_{21} \\ a^*_{14}&a^*_{13}&a^*_{12}&a^*_{11}\end{smallmatrix} \right]$

Jestem pewien, że ktoś wymyśli lepszą i bardziej precyzyjną odpowiedź.

Jeśli się nie mylę, jedynym rozwiązaniem dla które jest niezależne od wektora jest macierz diagonalna (złożona), w której przekątna spełnia złożoną symetrię sprzężoną.$\mathbf{T}$$\mathbf{X}$

EDYCJA: OK, pomyliłem się. Przekątna jest w porządku, ale nie jest konieczna. Macierz musi mieć następującą ogólną strukturę: elementy i muszą mieć wartość rzeczywistą (odpowiadają DC i Nyquist). Oprócz pierwszy wiersz i kolumna zawierają tylko zera. Dla elementów od do wybierz arbitraż$\mathbf{T}$$t_{11}$$t_{N/2+1,N/2+1}$$t_{11}$$t_{22}$$t_{N/2,N/2}$$(N/2-1)\times (N/2-1)$matryca. Następnie użyj tej macierzy arbitrażu, aby utworzyć nową macierz, zamieniając wszystkie rzędy (pierwszy rząd staje się ostatnim, drugi rząd staje się drugim ostatnim itd.), Odwracając rzędy od lewej do prawej i koniugując. Następnie umieść tę submatrix w prawym dolnym rogu całkowitej macierzy . Wszystkie pozostałe elementy muszą wynosić zero. Zdaję sobie sprawę, że trudno jest to zrozumieć bez wizualizacji, więc dodam ją później, gdy będę miał więcej czasu.$\mathbf{T}$$\mathbf{T}$