Wyrażenie w postaci zamkniętej dla rozkładu przykładowej kurtozy rozkładu Gaussa

Czy istnieje wyrażenie w formie zamkniętej dla rozkładu próbki Kurtosis danych próbkowanych z rozkładu Gaussa? to znaczy,

, gdzie K jest próbka kurtoza.$P(\hat{K}<a)$$\hat{K}$

Dokładny rozkład próbkowania jest trudny do ustalenia; było kilka pierwszych chwil (z 1929 r.), różne przybliżenia (z początku lat 60.) i tabele, często oparte na symulacji (z lat 60. XX wieku).

Być bardziej specyficznym:

Fisher (1929) podaje momenty rozkładu prób skośności i kurtozy w normalnych próbkach, a Pearson (1930) (również) podaje pierwsze cztery momenty rozkładu prób skośności i kurtozy i proponuje oparte na nich testy.

Na przykład ∗ :$^*$

$E(b_2)=\frac{3(n-1)}{n+1}$

$\text{Var}(b_2)=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

Skośność wynosi $b_2$$\frac{216}{n}(1-\frac{29}{n}+\frac{519}{n^2}-\frac{7637}{n^3}+\ldots)$

Nadmiar kurtozy wynosi $b_2$.$\frac{540}{n}-\frac{20196}{n^2}+\frac{470412}{n^3}+\ldots$

$E(b_2)$$\text{Var}(b_2)$

$b_2=n\frac{\sum_i (X_i-\bar X)^4}{(\sum_i (X_i-\bar X)^2)^2}$

$S_U$ (niewątpliwie powodem, dla którego pierwsze cztery momenty podano trzy dekady wcześniej, było w dużej mierze wykorzystanie rodziny Pearson ).

$n$

D'Agostino i Tietjen (1971) podają bardziej obszerne tabele percentyli dla kurtozy.

D'Agostino i Pearson (1973) podają wykresy punktów procentowych kurtozy, które ponownie obejmują szerszy zakres przypadków.

Fisher, RA (1929),
„Moments and Product Moments of Sampling Distribution”,
Proceedings of the London Mathematical Society , Series 2, 30: 199-238.

Pearson, ES, (1930)
„Dalszy rozwój testów normalności”,
Biometrika , 22 (1-2), 239-249.

Pearson, ES (1963)
„Niektóre problemy powstające w przybliżeniu do rozkładów prawdopodobieństwa przy użyciu momentów”,
Biometrika , 50 , 95-112

$\sqrt{b_1}$$b_2$

D'Agostino, RB i Tietjen, GL (1971),
„Punkty prawdopodobieństwa symulacji$b_2$dla małych próbek ”,
Biometrika , 58 , 669-672.

D'Agostino, RB i Pearson, ES (1973),
„Testy na odejście od normalności. Wyniki empiryczne dla rozkładu$b_2$ i $\sqrt{b_1}$, „
Biometrika , 60 , 613-622.

Próbka Kurtoza z normalnej próbki jest w przybliżeniu dystrybuowana jako średnia zero z normą z wariancją $\approx 24/n$, gdzie $n$ jest wielkością próby (oczywiście im większa $n$tym lepsze zbliżenie. Bardziej skomplikowane wyrażenia wariancji można znaleźć na stronie wikipedia ). Dla próbek Gaussa o małych rozmiarach (<40), w niniejszym opracowaniu uzyskano percentyle: Lacher, DA (1989). Rozkład prób skośności i kurtozy. Chemia kliniczna, 35 (2), 330-331.