Co to jest CDF z dwoma próbkami

Próbuję zrozumieć, jak uzyskać wartości dla jednostronnego testu Kołmogorowa-Smirnowa i staram się znaleźć CDF dla i w przypadku dwóch próbek. Poniżej podano w kilku miejscach CDF dla w przypadku jednej próby:$p$$D^{+}_{n_{1},n_{2}}$$D^{-}_{n_{1},n_{2}}$$D^{+}_{n}$

$$p^{+}_{n}\left(x\right) = \text{P}\left(D^{+}_{n} \ge x | \text{H}_{0}\right) = x\sum_{j=0}^{\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor}{ \binom{n}{j} \left(\frac{j}{n}+x\right)^{j-1}\left(1 - x - \frac{j}{n}\right)^{n-j}}$$

Co więcej, istnieje nieco inna formuła tego jednopróbkowego CDF (zastępuję $x$ w $t$ jego cytacie za spójność z moją notacją tutaj):

Wykorzystując transformatę całkową prawdopodobieństwa, Donald Knuth wyprowadza ich (wspólny) rozkład na str. 57 i ćwiczenie 17 TAoCP Tom 2. Cytuję:

$$\left(D^{+}_{n}\le \frac{x}{\sqrt{n}}\right)=\frac{x}{n^{n}}\sum_{c\le k\le x}\binom{n}{k}\left(k-x\right)^{k}\left(x+n-k\right)^{n-k-1}$$

Odnosi się to do jednostronnych hipotez w przypadku jednej próby, takich jak: H $_{0}\text{: }F(x)-F_{0} \le 0$ , gdzie $F(x)$ jest empirycznym CDF z $x$ , a $F_{0}$ to trochę CDF.

I że $x$ w tym przypadku jest to wartość $D^{+}_{n}$ w swoim próbki, a $\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor$ jest największą liczbą całkowitą $n-nx$ . (Czy to prawda?)

Ale czym jest CDF dla (lub ), gdy ma się dwie próbki? Na przykład, gdy H dla empirycznych CDF i ? Jak uzyskać ?$D^{+}_{n_{1},n_{2}}$$D^{-}_{n_{1},n_{2}}$$_{0}\text{: }F_{A}(x)-F_{B}(x) \le 0$$A$$B$$p^{+}_{n_{1},n_{2}}$

Ok, mam zamiar to zrobić. Mile widziane krytyczne spostrzeżenia.

Na stronie 192 Gibbons i Chakraborti (1992), powołując się Hodges, 1958, start z małej próbki (dokładny?) CDF dla testu dwustronnego (ja swapping ich i notacja dla i odpowiednio ):$m,n$$d$$n_{1},n_{2}$$x$

$$\text{P}{\left(D_{n_{1},n_{2}}\ge x\right)} = 1 - \text{P}\left(D_{n_{1},n_{2}} \leq x\right)=1-\frac{A\left(n_{1},n_{2}\right)}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$$

Gdzie powstaje przez wyliczenie ścieżek (monotonicznie rosnących w i ) od początku do punktu przez wykres z - podstawiając na - wartości x- osi i y- osi wynoszą i . Ścieżki muszą ponadto być zgodne z ograniczeniem pozostawania w granicach (gdzie jest wartością statystyki testu Kołmogorowa-Smirnowa):$A\left(n_{1},n_{2}\right)$$n_{1}$$n_{2}$$\left(n_{1},n_{2}\right)$$S_{m}(x)$$F_{n_{1}}(x)$$n_{1}F_{1}\left(x\right)$$n_{2}F_{2}\left(x\right)$$x$

$$\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{\left(n_{1}+n_{2}\right)x}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$$

Poniżej znajduje się ich obraz Rysunek 3.2, podając przykład , z 12 takimi ścieżkami:$A(3,4)$

Gibbons i Chakaborti twierdzą dalej, że jednostronna wartość jest uzyskiwana przy użyciu tej samej metody graficznej, ale tylko z dolną granicą dla i tylko górna dla .$p$$D^{+}_{n_{1},n_{2}}$$D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

Te małe próby obejmują algorytmy zliczania ścieżek i / lub relacje powtarzalności, co niewątpliwie czyni pożądane obliczenia asymptotyczne. Gibony i Chakraborti zauważają również ograniczające CDF, gdy i zbliżają się do nieskończoności, :$n_{1}$$n_{2}$$D_{n_{1},n_{2}}$

$$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - 2\sum_{i=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}}$$

I podają ograniczający CDF (lub ) jako:$D^{+}_{n_{1},n_{2}}$$D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

$$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D^{+}_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - e^{-2x^{2}}$$

Ponieważ i są ściśle nieujemne, CDF może przyjmować tylko niezerowe wartości powyżej :$D^{+}$$D^{-}$$[0,\infty)$

Odnośniki
Gibbons, JD i Chakraborti, S. (1992). Nieparametryczne wnioskowanie statystyczne . Marcel Decker, Inc., wydanie trzecie, wydanie poprawione i rozszerzone.

Hodges, JL (1958). Prawdopodobieństwo istotności testu dwóch prób Smirnova. Arkiv för matematik . 3 (5): 469--486.