Jak interpretować współczynniki w regresji Poissona?

Jak mogę zinterpretować główne efekty (współczynniki dla fikcyjnego czynnika) w regresji Poissona?

Załóżmy następujący przykład:

treatment     <- factor(rep(c(1, 2), c(43, 41)), 
                        levels = c(1, 2),
                        labels = c("placebo", "treated"))
improved      <- factor(rep(c(1, 2, 3, 1, 2, 3), c(29, 7, 7, 13, 7, 21)),
                        levels = c(1, 2, 3),
                        labels = c("none", "some", "marked"))    
numberofdrugs <- rpois(84, 10) + 1    
healthvalue   <- rpois(84, 5)   
y             <- data.frame(healthvalue, numberofdrugs, treatment, improved)
test          <- glm(healthvalue~numberofdrugs+treatment+improved, y, family=poisson)
summary(test)

Dane wyjściowe to:

Coefficients:
                 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)       1.88955    0.19243   9.819   <2e-16 ***
numberofdrugs    -0.02303    0.01624  -1.418    0.156    
treatmenttreated -0.01271    0.10861  -0.117    0.907   MAIN EFFECT  
improvedsome     -0.13541    0.14674  -0.923    0.356   MAIN EFFECT 
improvedmarke    -0.10839    0.12212  -0.888    0.375   MAIN EFFECT 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Wiem, że częstość incydentów numberofdrugswynosi exp(-0.023)=0.977. Ale jak interpretować główne efekty dla zmiennych fikcyjnych?

numberofdrugsWspółczynnik wykładniczy to multiplikatywny termin używany do obliczania szacunku, healthvaluegdy numberofdrugswzrasta o 1 jednostkę. W przypadku zmiennych kategorialnych (czynnikowych) współczynnik wykładniczy jest multiplikatywnym terminem w stosunku do poziomu podstawowego (pierwszego czynnika) dla tej zmiennej (ponieważ R domyślnie stosuje kontrasty leczenia). Jest exp(Intercept)to stopa bazowa, a wszystkie inne szacunki byłyby do niej względne.

W twoim przykładzie oszacowano healthvaluedla kogoś z 2narkotykami, "placebo"i improvement=="none"byłoby (używając dodawania wewnątrz exp jako ekwiwalentu mnożenia):

 exp( 1.88955 + 2*-0.02303 + 0 + 0 )
 [1] 6.318552

Podczas gdy ktoś na 4leki, "treated"oraz "some"poprawa miałaby szacunkowo healthvalueod

exp( 1.88955 + 4*-0.02303 + -0.01271 + -0.13541)
[1] 5.203388

DODATEK: To znaczy „być addytywnym w skali logu”. „Dodatek w skali logarytmicznej szansy” to zwrot, którego moja nauczycielka Barbara McKnight użyła, podkreślając potrzebę stosowania wszystkich współczynników terminów stosowanych w regresji logistycznej podczas prognozowania. Najpierw dodajesz wszystkie współczynniki razy zmienne towarzyszące, a następnie potęgujesz. Sposobem na zwrócenie współczynników z obiektów regresji w R jest na ogół użycie coef()funkcji ekstraktora (wykonanej z inną losową realizacją poniżej):

 coef(test)
  #   (Intercept)    numberofdrugs treatmenttreated     improvedsome   improvedmarked 
  #   1.18561313       0.03272109       0.05544510      -0.09295549       0.06248684 

Tak więc obliczenie szacunku dla pacjenta z 4narkotykami "treated", z "some"poprawą, byłoby:

 exp( sum( coef(test)[ c(1,2,3,4) ]* c(1,4,1,1) ) ) 
 [1] 3.592999

A predyktorem liniowym dla tego przypadku powinna być suma:

 coef(test)[c(1,2,3,4)]*c(1,4,1,1) 
 #    (Intercept)    numberofdrugs treatmenttreated     improvedsome 
 #     1.18561313       0.13088438       0.05544510      -0.09295549

Zasady te powinny mieć zastosowanie do każdego pakietu statystyk, który zwraca użytkownikowi tabelę współczynników. Metoda i zasady są bardziej ogólne, niż mogłoby się wydawać na podstawie mojego użycia R.

Kopiuję wybrane komentarze wyjaśniające, ponieważ „znikają” w domyślnym ekranie:

P: Więc interpretujesz współczynniki jako stosunki! Dziękuję Ci! - MarkDollar

Odp .: Współczynniki są logarytmami naturalnymi stosunków. - DWin

P2: Czy w takim przypadku w regresji Poissona współczynniki potęgowane są również nazywane „ilorazami szans”? - Oort

A2: Nie. Gdyby to była regresja logistyczna, byliby, gdyby nie regresja Poissona, gdzie LHS jest liczbą zdarzeń, a domniemany mianownik to liczba ryzyka, wówczas współczynniki wykładnicze to „współczynniki częstości” lub „ryzyko względne”.