Jaka jest moc testu F regresji?

11

Klasyczny test F dla podzbiorów zmiennych w regresji wieloliniowej ma postać gdzieSSE(R)to suma błędów kwadratu w modelu „zredukowanym”, który zagnieżdżony jest w „dużym” modeluB, adfto stopnie swobody obu modeli. Zgodnie z hipotezą zerową, że dodatkowe zmienne w „dużym” modelu nie mają liniowej mocy wyjaśniającej, statystyka jest podzielona jako F ostopniach swobodydfR-dfBidfB.

F=(SSE(R)SSE(B))/(dfRdfB)SSE(B)/dfB,
SSE(R)BdfdfRdfBdfB

Jaka jest jednak dystrybucja w ramach alternatywy? Zakładam, że jest to niecentralne F (mam nadzieję, że nie podwójnie niecentralne), ale nie mogę znaleźć żadnego odniesienia do tego, czym dokładnie jest parametr niecentralności. Zgaduję, że zależy to od prawdziwych współczynników regresji i prawdopodobnie od macierzy projektowej X , ale poza tym nie jestem tego taki pewien.βX

shabbychef
źródło

Odpowiedzi:

9

Parametrem niecentryczności jest , rzut dla modelu ograniczonego to P r , β jest wektorem prawdziwych parametrów, X jest macierzą projektową dla nieograniczonego (prawdziwego) modelu, | | x | | jest normą:δ2PrβX||x||

δ2=||XβPrXβ||2σ2

E(y|X)=XβXXβyPrXβy^XβPrXβyy^||XβPrXβ||2XβXrPrXβ=Xβ0

Powinieneś to znaleźć w Mardii, Kent i Bibby. (1980). Analiza wielowymiarowa.

karakal
źródło
wspaniały! czy norma powinna być podniesiona do kwadratu? W przeciwnym razie wydaje się, że jednostki mają znaczenie? Mówisz, że to „suma kwadratów”, więc myślę, że to norma do kwadratu ..
shabbychef
@shabbychef Oczywiście masz rację, dzięki za złapanie tego!
caracal
7

δ2=||Xβ1Xβ2||2σ2,

empiryczny CDF tego, co powinno być normalne

Oto kod R (wybacz styl, wciąż się uczę):

#sum of squares
sum2 <- function(x) { return(sum(x * x)) }
#random integer between n and 2n
rint <- function(n) { return(ceiling(runif(1,min=n,max=2*n))) }
#generate random instance from linear model plus noise.
#n observations of p2 vector
#regress against all variables and against a subset of p1 of them
#compute the F-statistic for the test of the p2-p1 marginal variables
#compute the p-value under the putative non-centrality parameter
gend <- function(n,p1,p2,sig = 1) {
 beta2 <- matrix(rnorm(p2,sd=0.1),nrow=p2)
 beta1 <- matrix(beta2[1:p1],nrow=p1)
 X <- matrix(rnorm(n*p2),nrow=n,ncol=p2)
 yt1 <- X[,1:p1] %*% beta1
 yt2 <- X %*% beta2
 y <- yt2 + matrix(rnorm(n,mean=0,sd=sig),nrow=n)
 ncp <- (sum2(yt2 - yt1)) / (sig ** 2)
 bhat2 <- lm(y ~ X - 1)
 bhat1 <- lm(y ~ X[,1:p1] - 1)
 SSE1 <- sum2(bhat1$residual)
 SSE2 <- sum2(bhat2$residual)
 df1 <- bhat1$df.residual
 df2 <- bhat2$df.residual
 Fstat <- ((SSE1 - SSE2) / (df1 - df2)) / (SSE2 / bhat2$df.residual)
 pval <- pf(Fstat,df=df1-df2,df2=df2,ncp=ncp)
 return(pval)
}
#call the above function, but randomize the problem size (within reason)
genr <- function(n,p1,p2,sig=1) {
 use.p1 <- rint(p1)
 use.p2 <- use.p1 + rint(p2 - p1)
 return(gend(n=rint(n),p1=use.p1,p2=use.p2,sig=sig+runif(1)))
}
ntrial <- 4096
ssize <- 256
z <- replicate(ntrial,genr(ssize,p1=4,p2=10))
plot(ecdf(z))
shabbychef
źródło
2
+1 za kontynuację z kodem. Zawsze dobrze to widzieć.
mpiktas