Uwaga: Podany wynik nie zależy od jakiegokolwiek założenia normalności, a nawet niezależności współrzędnych . Nie zależy to również od tego, czy A jest pozytywny. Rzeczywiście, załóżmy tylko, że współrzędne x mają zerową średnią, wariancję jednego i są nieskorelowane (ale niekoniecznie niezależne); to znaczy, E x i = 0 , E x 2 i = 1 , i E x i x j = 0 dla wszystkich i ≠ j .xZAxE xja= 0E x2)ja= 1E xjaxjot= 0i ≠ j
Podejście gołymi rękami
Niech będzie dowolną macierzą n × n . Z definicji t r ( A ) = ∑ n i = 1 a i i . Następnie
t r ( A ) = n ∑ i = 1 a i i = n ∑ i = 1 a i i E x 2 i = n ∑A =( aI j)n × nt r ( A )= ∑ni = 1zaja ja
i tak skończyliśmy.
t r ( A )= ∑i = 1nzaja ja= ∑i = 1nzaja jaE x2)ja= ∑i = 1nzaja jaE x2)ja+ ∑i ≠ jzaI jE xjaxjot,
W przypadku, gdy nie jest to całkiem oczywiste, należy zauważyć, że po prawej stronie, według liniowości oczekiwań, jest
∑i = 1nzaja jaE x2)ja+ ∑i ≠ jzaI jE xjaxjot= E ( ∑i = 1n∑j = 1nzaI jxjaxjot) =E( xT.A x )
Dowód za pomocą właściwości śledzenia
Jest inny sposób na napisanie tego, co jest sugestywne, ale opiera się koncepcyjnie na nieco bardziej zaawansowanych narzędziach. Potrzebujemy, aby zarówno oczekiwanie, jak i operator śledzenia były liniowe oraz, że dla dowolnych dwóch macierzy i B o odpowiednich wymiarach t r ( A B ) = t r ( B A ) . Następnie, ponieważ x T A x = t r ( x T A x ) , mamy
E ( x T A x ) = EZAbt r ( A B )= t r ( B A )xT.A x = t r ( xT.A x )
a więc
E ( x T A x ) = t r ( A I )
E ( xT.A x )= E ( t r ( xT.A x ))= E ( t r ( A x xT.) ) = t r ( E ( A x xT.) ) = t r ( A E x xT.) ,
E ( xT.A x )= t r ( A I )= t r ( A ).
Kwadratowe formy, produkty wewnętrzne i elipsoidy
Jeśli dodatni określona, wówczas wewnętrzna Produkt R n może być określona poprzez ⟨ x , y ⟩ = x T r i e = { x : x T x = 1 } określa elipsoidalny R n wyśrodkowany pochodzenie.ZARn⟨ X , y ⟩ZA= xT.A ymiZA= { x : xT.A x =1}Rn
źródło
Niektóre zastosowania tej techniki do problemów inwersji geofizycznej na dużą skalę omówiono w
JK MacCarthy, B. Borchers i RC Aster. Skuteczne oszacowanie stochastyczne diagonalnej matrycy rozdzielczości modelu i uogólniona walidacja krzyżowa dla dużych problemów odwrotnych geofizycznych. Journal of Geophysical Research, 116, B10304, 2011. Link do artykułu
źródło