Proces jest ściśle stacjonarny, jeśli wspólny rozkład jest taki sam jak wspólny rozkład dla wszystkich m , dla wszystkich k i dla wszystkich t_1, t_2, ..., t_m .
Proces jest stacjonarny drugiego rzędu, jeśli jego średnia jest stała, a jego funkcja autokowariancji zależy tylko od opóźnienia.
Czy zatem stacjonarne drugie zamówienie oznacza ścisłe stacjonarne?
Również w przypadku stacjonarnego drugiego rzędu mówi, że nie przyjmuje się żadnych założeń dotyczących momentów wyższych niż te pierwszego i drugiego rzędu. Pierwszy moment odpowiada średniej, czy drugi moment odpowiada autokowariancji?
Odpowiedzi:
Stacjonarność drugiego rzędu jest słabsza niż ścisła stacjonarność. Stacjonarność drugiego rzędu wymaga, aby momenty pierwszego i drugiego rzędu (średnia, wariancja i kowariancje) były stałe w czasie, a zatem nie zależały od czasu, w którym obserwowany jest proces. W szczególności, jak mówisz, kowariancja zależy tylko od kolejności opóźnień, , ale nie od czasu, w którym jest mierzona, C o v ( x t , x t - k ) = C o v ( x t + h , x t + h - k ) dla wszystkichk Cov(xt,xt−k)=Cov(xt+h,xt+h−k) .t
W ścisłym procesu stacjonarności, momenty wszystkich zleceń pozostają niezmienne przez cały czas, to znaczy, jak mówisz, wspólna dystrybucja jest taki sam, jak rozkład połączeń X t 1 + k + X t 2 + k + . . . + X T m + k dla wszystkich T 1 , T 2 , . . .Xt1,Xt2,...,Xtm Xt1+k+Xt2+k+...+Xtm+k i k .t1,t2,...,tm k
Dlatego ścisła stacjonarność obejmuje stacjonarność drugiego rzędu, ale odwrotność nie jest prawdą.
Edytuj (edytowane jako odpowiedź na komentarz @ whuber)
Poprzednie oświadczenie jest ogólnym zrozumieniem słabej i silnej stacjonarności. Chociaż idea, że stacjonarność w słabym sensie nie implikuje stacjonarności w silniejszym sensie, może być zgodna z intuicją, ale może nie być tak łatwo udowodnić, jak zauważył whuber w komentarzu poniżej. Pomocne może być zilustrowanie tego pomysłu, jak zasugerowano w tym komentarzu.
Jak możemy zdefiniować proces, który jest stacjonarny drugiego rzędu (średnia, wariancja i stała kowariancji w czasie), ale nie jest stacjonarny w ścisłym znaczeniu (momenty wyższego rzędu zależą od czasu)?
Jak sugeruje @whuber (jeśli dobrze zrozumiałem), możemy łączyć partie obserwacji pochodzących z różnych rozkładów. Musimy tylko uważać, aby te rozkłady miały tę samą średnią i wariancję (w tym miejscu rozważmy, że są one próbkowane niezależnie od siebie). Z jednej strony możemy na przykład generować obserwacje z rozkładu Studenta z 5 stopniami swobody. Średnia jest zero i wariancji 5 / ( 5 - 2 ) = 5 / 3 . Na innej strony, możemy rozkład Gaussa o zerowej średniej i wariancji 5 / 3 .t 5 5/(5−2)=5/3 5/3
Oba rozkłady dzielić tę samą średnicę (zero) i wariancji ( ). Zatem konkatenacja wartości losowych z tego rozkładu będzie co najmniej stacjonarna drugiego rzędu. Jednak kurtoza w punktach podlegających rozkładowi Gaussa będzie wynosić 3 , podczas gdy w punktach czasowych, w których dane pochodzą z rozkładu t Studenta, będzie to 3 + 6 / ( 5 - 4 ) = 9 . Dlatego dane generowane w ten sposób nie są stacjonarne w ścisłym znaczeniu, ponieważ momenty czwartego rzędu nie są stałe.5/3 3 t 3+6/(5−4)=9
Kowariancje są również stałe i równe zeru, ponieważ rozważaliśmy niezależne obserwacje. Może się to wydawać trywialne, więc możemy stworzyć pewną zależność między obserwacjami według następującego modelu autoregresji.
z ε t ~ { N ( 0 , σ 2 = 5 / 3 )
zapewnia spełnienie stacjonarności drugiego rzędu.|ϕ|<1
Możemy symulować niektóre z tych serii w oprogramowaniu R i sprawdzać, czy średnia próbki, wariancja, kowariancja pierwszego rzędu i kurtoza pozostają stałe w partiach obserwacji (poniższy kod używa ϕ = 0,8 i wielkość próbki n = 240 , rysunek pokazuje jedna z serii symulowanych):20 ϕ=0.8 n=240
Wyniki nie są zgodne z oczekiwaniami:
źródło
R
n <- 300; p <- 1/4; x <- rnorm(n, (rbinom(2,1,c(p,1-p))-c(p,1-p)), 1/8)
Ponieważ nie mogę komentować i mam cenne zastrzeżenie do odpowiedzi @javlacalle , jestem zmuszony dołączyć tę osobną odpowiedź:
@javlacalle to napisał
Jednak silna stacjonarność nie oznacza słabej stacjonarności. Powodem jest to, że silna stacjonarność nie oznacza, że proces musi koniecznie mieć skończony drugi moment. Na przykład proces iid ze standardowym rozkładem Cauchy'ego jest ściśle stacjonarny, ale nie ma skończonego drugiego momentu. Rzeczywiście, posiadanie skończonego drugiego momentu jest koniecznym i wystarczającym warunkiem słabej stacjonarności silnie stacjonarnego procesu.
Odniesienie: Myers, DE, 1989. Być albo nie być. . . nieruchomy? Oto jest pytanie. Matematyka Geol. 21, 347–362.
źródło