Pokaż, że jeśli

10

Obecnie utknąłem na tym, wiem, że prawdopodobnie powinienem użyć średniego odchylenia rozkładu dwumianowego, ale nie mogę tego rozgryźć.

tyde
źródło
1
Cześć, witam w CV. Takie pytania są mile widziane, ale traktujemy je inaczej - jeśli włożysz więcej informacji do swojego pytania, możesz uzyskać wskazówki i wskazówki. Zobacz odpowiedni akapit na jego stronie pomocy oraz wytyczne na self-study wiki tagu . Dodaj self-studytag i zmodyfikuj swoje pytanie zgodnie z sugestią (to znaczy pokaż, co próbowałeś, lub przynajmniej wyjaśnij, co wiesz o oczekiwaniach i dwumianach) i określ, gdzie leżą twoje trudności.
Glen_b
1
możesz także spojrzeć na nierówność
Jensen
1
@ seanv507 z pewnością, jeśli użyjemy nierówności Jensena, zrobi to w jednym kroku, a jeśli ty to pokryłeś, to wszystko, co byłoby potrzebne, ale w tym przypadku istnieje naprawdę elementarny dowód, który jest w zasięgu ręki studentów, którzy znają tylko niektóre bardzo podstawowe właściwości oczekiwania i wariancji.
Glen_b
który staje się V a r [ X ] + ( E [ X ] - n p ) 2 , a następnie rozwiązując otrzymujemy: n p q + ( n p - n p ) 2 = n p q . Czy to jest poprawne? E[Y2]=Var[Y]+E[Y]2Var[X]+(E[X]np)2npq+(npnp)2=npq
thyde
1
Myślę, że mylisz się z Var. po prostu użyj E. musisz pokazać, że . E|Xnp|E[|Xnp|2]
seanv507

Odpowiedzi:

9

Aby wątek komentarza nie wybuchł, zbieram moje wskazówki w kierunku całkowicie elementarnego dowodu (możesz to zrobić krócej, ale mam nadzieję, że dzięki temu każdy krok będzie intuicyjny). Usunąłem większość moich komentarzy (co niestety pozostawia komentarze trochę rozłączone).

  1. Niech . Uwaga E ( Y ) = 0 . Pokaż Var ( Y ) = n p q . Jeśli znasz już Var ( X ) , możesz po prostu podać Var ( Y ) , ponieważ przesunięcie o stałą nic nie zmienia.Y=XnpE(Y)=0Var(Y)=npqVar(X)Var(Y)

  2. Niech . Napisz oczywistą nierówność w Var ( Z ) , rozwiń Var ( Z ) i użyj poprzedniego wyniku. [Być może zechcesz nieco przeorganizować to w jasny dowód, ale staram się zmotywować, jak dojść do dowodu, a nie tylko ostatecznego dowodu.]Z=|Y|Var(Z)Var(Z)

To wszystko. To 3 lub 4 proste linie, wykorzystujące nic bardziej skomplikowanego niż podstawowe właściwości wariancji i oczekiwania (jedynym sposobem, w jaki dwumian wchodzi w to w ogóle, jest podanie konkretnej formy i Var ( X ) - możesz udowodnić, że ogólny przypadek, że średnie odchylenie jest zawsze σ tak samo łatwo).E(X)Var(X)σ

[Alternatywnie, jeśli znasz nierówność Jensena, możesz to zrobić nieco krócej.]

-

Teraz, gdy minęło trochę czasu, przedstawię trochę więcej szczegółów na temat tego, jak do niego podejść:

Z=|Xnq|Var(Z)=E(Z2)E(Z)2E(Z2)=E[(Xnq)2]

Pamiętaj, że wariancje muszą być dodatnie. Wynik jest następujący.

Glen_b - Przywróć Monikę
źródło