Pokaż, że jeśli

Obecnie utknąłem na tym, wiem, że prawdopodobnie powinienem użyć średniego odchylenia rozkładu dwumianowego, ale nie mogę tego rozgryźć.

self-study binomial mean expected-value proof tyde
źródło

Cześć, witam w CV. Takie pytania są mile widziane, ale traktujemy je inaczej - jeśli włożysz więcej informacji do swojego pytania, możesz uzyskać wskazówki i wskazówki. Zobacz odpowiedni akapit na jego stronie pomocy oraz wytyczne na self-study wiki tagu . Dodaj self-studytag i zmodyfikuj swoje pytanie zgodnie z sugestią (to znaczy pokaż, co próbowałeś, lub przynajmniej wyjaśnij, co wiesz o oczekiwaniach i dwumianach) i określ, gdzie leżą twoje trudności.

Glen_b

możesz także spojrzeć na nierówność

Jensen

@ seanv507 z pewnością, jeśli użyjemy nierówności Jensena, zrobi to w jednym kroku, a jeśli ty to pokryłeś, to wszystko, co byłoby potrzebne, ale w tym przypadku istnieje naprawdę elementarny dowód, który jest w zasięgu ręki studentów, którzy znają tylko niektóre bardzo podstawowe właściwości oczekiwania i wariancji.

Glen_b

który staje się

, a następnie rozwiązując otrzymujemy:

. Czy to jest poprawne?

E [Y^{2}] = V a r [Y] + E [Y]^{2}

$E[Y^2] = Var[Y] + E[Y]^2$

V a r [X] + (E [X] - n p)^{2}

$Var[X] + (E[X] - np)^2$

n p q + (n p - n p)^{2} = n p q

$npq + (np - np)^2 = npq$

thyde

Myślę, że mylisz się z Var. po prostu użyj E. musisz pokazać, że

E | X - n p | \leq \sqrt{E [| X - n p |^{2}]}

$E|X-np|\le \sqrt{E[|X-np|^2]}$

seanv507

Odpowiedzi:

Aby wątek komentarza nie wybuchł, zbieram moje wskazówki w kierunku całkowicie elementarnego dowodu (możesz to zrobić krócej, ale mam nadzieję, że dzięki temu każdy krok będzie intuicyjny). Usunąłem większość moich komentarzy (co niestety pozostawia komentarze trochę rozłączone).

Niech . Uwaga . Pokaż . Jeśli znasz już , możesz po prostu podać , ponieważ przesunięcie o stałą nic nie zmienia. $Y=X-np$ $E(Y)=0$ $\text{Var}(Y)=npq$ $\text{Var}(X)$ $\text{Var}(Y)$
Niech . Napisz oczywistą nierówność w , rozwiń i użyj poprzedniego wyniku. [Być może zechcesz nieco przeorganizować to w jasny dowód, ale staram się zmotywować, jak dojść do dowodu, a nie tylko ostatecznego dowodu.] $Z=|Y|$ $\text{Var}(Z)$ $\text{Var}(Z)$

To wszystko. To 3 lub 4 proste linie, wykorzystujące nic bardziej skomplikowanego niż podstawowe właściwości wariancji i oczekiwania (jedynym sposobem, w jaki dwumian wchodzi w to w ogóle, jest podanie konkretnej formy i - możesz udowodnić, że ogólny przypadek, że średnie odchylenie jest zawsze tak samo łatwo). $E(X)$ $\text{Var}(X)$ $\leq \sigma$

[Alternatywnie, jeśli znasz nierówność Jensena, możesz to zrobić nieco krócej.]

Teraz, gdy minęło trochę czasu, przedstawię trochę więcej szczegółów na temat tego, jak do niego podejść:

$Z=|X-nq|$ $\text{Var}(Z)=E(Z^2)-E(Z)^2$ $E(Z^2)=E[(X-nq)^2]$

Pamiętaj, że wariancje muszą być dodatnie. Wynik jest następujący.

Glen_b - Przywróć Monikę
źródło