Jaka jest logika metody momentów?

21

Dlaczego w „Metodzie momentów” porównujemy momenty próbne z momentami populacji w celu znalezienia estymatora punktu?

Gdzie kryje się za tym logika?

użytkownik 31466
źródło
2
Byłoby miło, gdybyśmy mieli fizyka w naszej społeczności, aby poradził sobie z tym problemem.
mugen
4
@mugen, nie widzę żadnego związku z fizyką.
Aksakal,
2
@Aksakal wykorzystują również momenty funkcji w fizyce, i zawsze jest miło, gdy ktoś robi analogię dla lepszej interpretacji.
mugen
1
Jak wspomniano w tej odpowiedzi , prawo wielkich liczb stanowi uzasadnienie (aczkolwiek asymptotyczne) do oszacowania momentu populacji przez moment próbki, w wyniku czego (często) proste, spójne estymatory
Glen_b
Czy nie chodzi o to, aby przedstawić parametry za pomocą momentów? Podobnie jak w przypadku próby oszacowania parametru rozkładu Poissona, znajdując średnią (pierwszą chwilę), można użyć go jako estymatora parametru lambda.
denis631,

Odpowiedzi:

14

Próbka składająca się z realizacji z identycznie i niezależnie rozmieszczonych zmiennych losowych jest ergodyczna. W takim przypadku „momenty próbne” są spójnymi estymatorami momentów teoretycznych rozkładu wspólnego, jeśli momenty teoretyczne istnieją i są skończone. n

To znaczy że

(1)μ^k(n)=μk(θ)+ek(n),ek(n)p0

Więc przez zrównanie momentu teoretycznego z odpowiednim momentem próbnym, jaki mamy

μ^k(n)=μk(θ)θ^(n)=μk1(μ^k(n))=μk1[μk(θ)+ek(n)]

Więc ( nie zależy od ) nμkn

plimθ^(n)=plim[μk1(μk(θ)+ek)]=μk1(μk(θ)+plimek(n))

=μk1(μk(θ)+0)=μk1μk(θ)=θ

Robimy to, ponieważ uzyskujemy spójne estymatory dla nieznanych parametrów.

Alecos Papadopoulos
źródło
co znaczy „plim”? Nie znam „p” w ek(n)p0
użytkownik 31466
@leaf limit prawdopodobieństwa
Alecos Papadopoulos
Co by się stało, gdyby był to zwykły limit zamiast limitu prawdopodobieństwa?
użytkownik 31466,
Powiedziałoby nam to, że estymator staje się stały, a nie, że dąży do jednego. Być może powinieneś sprawdzić tryby konwergencji losowych zmiennych, wikipedia ma przyzwoite wprowadzenie, en.wikipedia.org/wiki/Convergence_of_random_variables
Alecos Papadopoulos
1
@AlecosPapadopoulos Zgoda. Zastanawiam się więc, czy ma sens umieszczenie czegoś prostego, na przykład „... i pod pewnymi warunkami na ”? μk
Jerome Baum,
12

Ekonometrycy nazywają to „zasadą analogii”. Obliczasz średnią populacji jako wartość oczekiwaną w odniesieniu do rozkładu populacji; obliczasz estymator jako wartość oczekiwaną w odniesieniu do rozkładu próbki, i okazuje się, że jest to średnia próbki. Masz zunifikowane wyrażenie do którego podłączasz populację , powiedzmy lub próbka , więc jest wiązką delta -funkcje i całka (Lebesgue) w odniesieniu doF ( x ) F ( x ) = x 1

T(F)=t(x)dF(x)
F(x)F(x)=x12πσ2exp[(uμ)22σ2]duFn(x)=1ni=1n1{xix}dFn(x)dFn(x)to suma próbki . Jeśli twoje funkcjonalne jest (słabo) różnicowalne, a zbiega się w odpowiednim sensie z , łatwo jest ustalić, że oszacowanie jest spójne, chociaż oczywiście potrzeba więcej hoopli, aby uzyskać powiedzmy asymptotyczną normalność.T()Fn(x)F(x)1ni=1nt(xi)T()Fn(x)F(x)
StasK
źródło
1
Nie słyszałem o tak zwanej „zasadzie analogii”, ale jest to często używany wzorzec analizy ekonometrycznej: podłączaj estymator próby, ilekroć parametr populacji jest potrzebny, ale nieznany.
Aksakal,
@Aksakal: „podłącz estymator próby, ilekroć parametr populacji jest potrzebny, ale nieznany”. czy to podejście nie jest po prostu nazywane statystykami?
user603
@ user603: Nie, nie. Istnieją inne alternatywne podejścia, a estymatory plu-in mogą być złe.
kjetil b halvorsen