Jak znaleźć średnią sumy zmiennych zależnych?

Wiem, że średnia sumy zmiennych niezależnych jest sumą średnich każdej zmiennej niezależnej. Czy dotyczy to również zmiennych zależnych?

Oczekiwanie (biorąc pod uwagę średnią) jest operatorem liniowym .

Oznacza to, że między innymi $\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$ dla dowolnych dwóch zmiennych losowych $X$ i $Y$ (dla których istnieją oczekiwania), niezależnie od tego, czy są one niezależne, czy nie.

Możemy uogólnić (np. Przez indukcję ), aby $\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)$ , o ile istnieje każde oczekiwanie $\mathbb{E}(X_i)$ .

Tak więc, średnia sumy jest taka sama jak suma średniej, nawet jeśli zmienne są zależne. Pamiętaj jednak, że nie dotyczy to wariancji! Tak więc, podczas gdy $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$ dla zmiennych niezależnych, a nawet zmiennych, które są zależne, ale nieskorelowane , ogólny wzór to $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$ gdzie$\mathrm{Cov}$ jestkowariancjązmiennych.

TL; DR:
Zakładając, że istnieje, średnia jest wartością oczekiwaną, a wartość oczekiwaną jest całką, a całki mają właściwość liniowości w odniesieniu do sum.

TS; DR:
Ponieważ mamy do czynienia z sumą zmiennych losowych , tj. Funkcją wielu z nich, średnia sumy E ( Y n ) odnosi się do ich wspólnego rozkładu ( zakładamy, że wszystkie środki istnieją i są ograniczone) oznaczającą x wielozmienna wektora z n RV, ich wspólne gęstości może być zapisana jako f x ( x ) = f x 1 , . . . , $Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$$E(Y_n)$$\mathbf X$$n$i ich wspólna podpora D=S x 1 x. . . ×S X n Korzystając zprawa nieświadomego statystyki , mamycałkęwielokrotną$f_{\mathbf X}(\mathbf x)= f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$$D = S_{X_1} \times ...\times S_{X_n}$

.

$$E[Y_n] = \int_D Y_nf_{\mathbf X}(\mathbf x)d\mathbf x$$

W pewnych warunkach regularności możemy rozłożyć całkę wielokrotną na całkę literaturową:$n$

$$E[Y_n] = \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}\Big[\sum_{i=1}^n X_i\Big]f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

i używając liniowości całek, na które możemy się rozłożyć

$$= \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n \; + ...\\ ...+\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_nf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

Dla każdej literatury całkowej możemy zmienić kolejność całkowania, tak aby w każdym przypadku całka zewnętrzna dotyczyła zmiennej znajdującej się poza gęstością połączenia. Mianowicie,$n$

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n = \\\int_{S_{X_1}}x_1\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_2}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_2...dx_ndx_1$$

i na ogół

= ∫ S

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_j}}...\int_{S_{X_1}}x_jf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_j...dx_n =$$ $$=\int_{S_{X_j}}x_j\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_{j-1}}}\int_{S_{X_{j+1}}}...\int_{S_{X_1}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_{j-1}dx_{j+1}......dx_ndx_j$$

Gdy obliczamy kolejno całkę w każdej literackiej całce (zaczynając od wewnątrz), „integrujemy” zmienną i uzyskujemy na każdym etapie rozkład „wspólnych marginalnych” pozostałych zmiennych. Każdy n zatem -iterative integralną zakończy się jak ∫ S X J x J K X J ( x j ) d x j .$n$$n$$\int_{S_{X_j}}x_jf_{X_j}(x_j)dx_j$

Łącząc to wszystko, dochodzimy do

$$E[Y_n ] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1}(x_1)dx_1 +...+\int_{S_{X_n}}x_nf_{X_n}(x_n)dx_n$$

Ale teraz każda prosta całka jest oczekiwaną wartością każdej zmiennej losowej osobno, więc

= n ∑ i = 1 E ( X i

$$E[\sum_{i=1}^n X_i] = E(X_1) + ...+E(X_n)$$ $$= \sum_{i=1}^nE(X_i)$$

Zauważ, że nigdy nie odwoływaliśmy się do niezależności lub niezależności zmiennych losowych, ale pracowaliśmy wyłącznie z ich wspólnym rozkładem.