Mediana bezwzględnego odchylenia (MAD) i SD dla różnych rozkładów

15

Dla normalnie rozłożonych danych odchylenie standardowe i mediana odchylenia bezwzględnego MAD są powiązane przez:σMAD

σ=Φ1(3/4)MAD1.4826MAD,

gdzie jest funkcją skumulowanego rozkładu standardowego rozkładu normalnego.Φ()

Czy istnieje podobny związek dla innych dystrybucji?

ofiara
źródło
Którą dystrybucję miałeś na myśli?
gung - Przywróć Monikę
Brak określonej dystrybucji. Właśnie natrafiłem na dziwne zbiory danych i chciałbym wiedzieć, czy istnieje możliwy zakres wartości stałej ...
vic
Tak, dla wielu dystrybucji - ale liczby są różne.
Glen_b
2
Jeśli chcesz poznać możliwy zakres wartości, które mogłyby przekonwertować MAD na SD, dlaczego nie zadać tego pytania?
Glen_b
2
Wyjaśnij, czym jest „MAD”: ma więcej niż jedno konwencjonalne znaczenie! (I oba podają te same wartości dla rozkładów normalnych.)
whuber

Odpowiedzi:

8

Aby odpowiedzieć na pytanie w komentarzach:

Chciałbym wiedzieć, czy istnieje możliwy zakres wartości stałej

(Zakładam, że pytanie ma dotyczyć mediany odchylenia od mediany).

  1. Stosunek SD do MAD może być dowolnie duży.

    Weź rozkład z danym stosunkiem SD do MAD. Przytrzymaj środkową rozkładu na stałym poziomie (co oznacza, że ​​MAD pozostaje niezmieniony). Przesuń ogony dalej. SD rośnie. Kontynuuj przesuwanie go poza jakąkolwiek skończoną granicę.50%+ϵ

  2. Stosunek SD do MAD można łatwo ustalić tak blisko zgodnie z życzeniem (przykładowo) przez ustawienie25%+ϵna±1i50%-2ϵna 0.1225%+ϵ±150%2ϵ

    Myślę, że byłoby to tak małe, jak to możliwe.

enter image description here

Glen_b - Przywróć Monikę
źródło
2
Czy twoja interpretacja „MAD” jest medianą absolutnego odchylenia od średniej lub od mediany (która jest często stosowana i jest wyraźną interpretacją w odpowiedzi Xi'ana)?
whuber
3
@ whuber - ważne jest, aby być jasnym, dzięki. Interpretuję to jako z mediany, tak jak Xi'an. (Czy popełniłem gdzieś błąd?)
Glen_b
2
Nie widziałem żadnego błędu - po prostu nie było jasne ani w pytaniu, ani w twojej odpowiedzi, która interpretacja była zamierzona (chociaż przy pewnej analizie czytelnik mógł dowiedzieć się, której używasz). Pamiętam, jak widziałem pytanie o interpretację odstępstwa od średniej zaledwie kilka tygodni temu.
whuber
4

Dla dowolnego rozkładu o gęstości fa(x;θ), mediana bezwzględnego odchylenia jest podana przez SZALONYθ=solθ-1(1/2)) gdzie solθ to cdf z |X-MEDθ| i MEDθ=faθ-1(1/2)) gdzie faθ to cdf z X.

  1. W przypadkach, gdy θ=σtzn. gdy odchylenie standardowe jest jedynym parametrem, SZALONYθ jest zatem funkcją deterministyczną σ.
  2. W przypadkach, gdy θ=(μ,σ) i μ jest parametrem lokalizacji, tzn. kiedy
    fa(x;θ)=sol({x-μ}/σ)/σ
    Następnie dystrybucja |X-MEDθ| jest taki sam jak rozkład |{Xμ}{MEDθμ}|, and hence is independent from μ. Therefore Gθ only depends on σ and MADθ is again a deterministic function of σ.
Xi'an
źródło