Jak zamienić funkcję w gęstość prawdopodobieństwa przy jednoczesnym zachowaniu kształtu funkcji?

Mam szereg funkcji, z których każda rzekomo reprezentuje gęstość zmiennej losowej między agentami. Każda funkcja ma również domenę, która opisuje, jakie wartości zmiennej losowej są prawidłowe.

Teraz, jeśli dobrze pamiętam klasy statystyk, jeśli wezmę całkę jednej z funkcji w wartościach opisanych przez dziedzinę funkcji, powinienem otrzymać wartość 1,0. Tak się jednak nie dzieje.

Czy istnieje technika normalizacji, która może zamienić funkcję w prawdziwą gęstość prawdopodobieństwa, ale zachowuje kształt funkcji?

Wszystkie funkcje mają postać $\frac{a}{bx}+c$, gdziejest zmienną losową, asą stałymi zmiennymi.$x$$a,b,c$

Jeśli masz nieujemną funkcję całkowitą z domeną D taką, że$f$$D$

$$k = \int_{D} f(x) dx < \infty$$

Następnie oznacza gęstość prawdopodobieństwa na D . Wartość k jest znana jako stała normalizująca .$f(x)/k$$D$$k$

Edycja: W swoim przykładzie powiedziałeś, że dla znanych stałycha,b,c. W takim przypadku całka nieoznaczona jest łatwa do obliczenia, a stała normalizująca byłaby$f(x) = \frac{a}{bx} + c$$a,b,c$

$$k = \left[ \frac{a \log(x) }{b} + cx \right]_{D}$$

jeśli jest interwałem ( A , B ), wówczas upraszcza się to$D$$(A,B)$

Dlategog(x)=

$$k = \frac{a}{b} \cdot \log \left( \frac{B}{A} \right) + c(B-A)$$ to gęstość prawdopodobieństwa na(A,B). $$g(x) = \frac{\frac{a}{bx} + c}{\frac{a}{b} \cdot \log \left( \frac{B}{A} \right) + c(B-A)}$$ $(A,B)$