To jest mój pierwszy raz tutaj, więc proszę dać mi znać, czy mogę wyjaśnić moje pytanie w jakikolwiek sposób (w tym formatowanie, tagi itp.). (Mam nadzieję, że mogę później edytować!) Próbowałem znaleźć referencje i próbowałem rozwiązać siebie za pomocą indukcji, ale nie udało mi się obu.
Próbuję uprościć dystrybucję, która wydaje się zmniejszać do statystyki rzędu przeliczalnie nieskończony zbiór niezależnych zmiennych losowych o różnych stopniach swobody; a konkretnie, jaki jest rozkład tej najmniejszej wartości między niezależnymi ?
Byłbym zainteresowany przypadkiem szczególnym : jaki jest rozkład minimum (niezależnego) ?
W przypadku minimum udało mi się napisać funkcję dystrybucji skumulowanej (CDF) jako nieskończony produkt, ale nie mogę jej dalej uprościć. Wykorzystałem fakt, że CDF z to (Przy potwierdza to drugi komentarz poniżej dotyczący równoważności z rozkładem wykładniczym z oczekiwaniem 2.) CDF minimum można następnie zapisać jako Pierwszy termin w produkcie to po prostu , a „ostatni” termin tom = 1 F m i n ( x ) = 1 - ( 1 - F 2 ( x ) ) ( 1 - F 4 ( x ) ) … = 1 - ∞ ∏ m = 1 ( 1 - F 2 m ( x ) ) = 1 - ∞ ∏ m =
Kolejne potencjalnie pomocne przypomnienie: jest taki sam jak rozkład wykładniczy z oczekiwaniem 2, a jest sumą dwóch takich wykładników itp. χ 2 4
Jeśli ktoś jest ciekawy, staram się uprościć Twierdzenie 1 w tym przypadku w przypadku regresji na stałej ( dla wszystkich ). (Mam zamiast Rozkłady ponieważ pomnożyłem przez .)i χ 2 Γ 2 κ
źródło
Odpowiedzi:
Zera nieskończonego produktu będą sumą zer warunków. Obliczanie do 20 kadencji pokazuje ogólny wzorzec:
Ten wykres zer w płaszczyźnie zespolonej rozróżnia udział poszczególnych terminów w produkcie za pomocą różnych symboli: na każdym kroku pozorne krzywe są przedłużane dalej, a nowa krzywa rozpoczyna się jeszcze bardziej w lewo.
Złożoność tego obrazu pokazuje, że nie istnieje żadne rozwiązanie w formie zamkniętej w zakresie dobrze znanych funkcji wyższej analizy (takich jak gamma, thetas, funkcje hipergeometryczne itp., A także funkcji elementarnych, jak zbadano w klasycznym tekście takim jak Whittaker I Watson ).
Zatem problem może być bardziej owocnie postawiony nieco inaczej : co musisz wiedzieć o rozkładach statystyk zamówień? Oszacowania ich charakterystycznych funkcji? Niskie momenty zamówienia? Zbliżenia do kwantyli? Coś innego?
źródło
Przepraszamy za spóźnienie około 6 lat. Chociaż PO prawdopodobnie przeszedł teraz na inne problemy, pytanie pozostaje aktualne i pomyślałem, że mogę zasugerować inne podejście.
Dajemy gdzie gdzie z pdf :(X1,X2,X3,…) Xi∼Chisquared(vi) vi=2i fi(xi)
Oto wykres odpowiadającego mu pliku formacie pdf , gdy zwiększa się wielkość próbki, dla :i = 1 do 8fi(xi) i=1 to 8
Interesuje nas dystrybucja .min(X1,X2,X3,…)
Za każdym razem, gdy dodajemy dodatkowy termin, pdf marginalnego ostatniego dodanego terminu przesuwa się coraz bardziej w prawo, dzięki czemu efekt dodawania coraz większej liczby terminów staje się nie tylko coraz mniej istotny, ale po kilku terminach , staje się prawie nieistotny - na minimum próbki. Oznacza to w efekcie, że tylko bardzo niewielka liczba terminów może mieć znaczenie ... a dodanie dodatkowych terminów (lub obecność nieskończonej liczby terminów) jest w dużej mierze nieistotne dla minimalnego problemu próbki.
Test
Aby to przetestować, obliczyłem pdf na 1 termin, 2 warunki, 3 warunki, 4 warunki, 5 warunków, 6 warunków, 7 warunków, 8 warunków, do 9 warunków i do 10 warunków. Aby to zrobić, użyłem funkcji z mathStatica , instruując ją tutaj, aby obliczyć pdf próbki minimalnej ( statystyki zamówienia ) w próbce o rozmiarze , a gdzie parametr (zamiast tego ) to :1 st j i v imin(X1,X2,X3,…) 1st j i vi
OrderStatNonIdentical
To staje się nieco skomplikowane, gdy liczba terminów rośnie ... ale pokazałem wynik dla 1 semestru (1. rząd), 2 terminów (drugi rząd), 3 terminów (3. rząd) i 4 terminów powyżej.
Poniższy schemat porównuje pdf przykładowego minimum z 1 terminem (niebieski), 2 terminami (pomarańczowy), 3 terminami i 10 terminami (czerwony). Zwróć uwagę, jak podobne są wyniki przy zaledwie 3 terminach i 10 terminach:
Poniższy schemat porównuje 5 terminów (niebieski) i 10 terminów (pomarańczowy) - wykresy są tak podobne, że się wzajemnie zacierają i nawet nie widać różnicy:
Innymi słowy, zwiększenie liczby wyrażeń z 5 do 10 nie ma prawie żadnego widocznego wpływu wizualnego na rozkład minimum próbki.
Przybliżenie półlogistyczne
Wreszcie, doskonałym prostym przybliżeniem pdf próbki min jest rozkład półlogistyczny z pdf:
Poniższy schemat porównuje dokładne rozwiązanie z 10 terminami (które są nie do odróżnienia od 5 lub 20 terminów) i przybliżeniem półlogistycznym (przerywanym):
Zwiększenie do 20 terminów nie robi zauważalnej różnicy.
źródło