Jaki jest rozkład , gdzie są rozkładami jednorodnymi?

Mam cztery niezależne, równomiernie rozmieszczone zmienne , każda w . Chcę obliczyć rozkład . rozkład na (stąd ), a aby być Teraz rozkład sumy u_1 + u_2 wynosi ( u_1, \, u_2 są również niezależne) f_ {u_1 + u_2} (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f_1 (xy) f_2 (y) dy = - \ frac {1} {4} \ int_0 ^ 4 \ frac {1- \ sqrt {xy}} {\ sqrt {xy}} \ cdot \ ln \ frac {y} {4} dy, bo y \ in (0,4]$a,b,c,d$$[0,1]$$(a-d)^2+4bc$$u_2=4bc$

$$f_2(u_2)=-\frac{1}{4}\ln\frac{u_2}{4}$$ $u_2\in(0,4]$$u_1=(a-d)^2$ $$f_1(u_1)=\frac{1-\sqrt{u_1}}{\sqrt{u_1}}.$$ $u_1+u_2$$u_1,\, u_2$ $$f_{u_1+u_2}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x-y)f_2(y)dy=-\frac{1}{4}\int_0^4\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy,$$ $y\in(0,4]$. Tutaj musi być $x>y$ więc całka jest równa $$f_{u_1+u_2}(x)=-\frac{1}{4}\int_0^{x}\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy.$$ Teraz wstawiam go do Mathematica i otrzymuję $$f_{u_1+u_2}(x)=\frac{1}{4}\left[-x+x\ln\frac{x}{4}-2\sqrt{x}\left(-2+\ln x\right)\right].$$

Zrobiłem cztery niezależne zbiory $a,b,c,d$ składające się z $10^6$ liczb i narysowałem histogram $(a-d)^2+4bc$ :

i narysował wykres $f_{u_1+u_2}(x)$ :

Zasadniczo wykres jest podobny do histogramu, ale w przedziale $(0,5)$ większość z nich jest ujemna (pierwiastek wynosi 2,27034). Całka części dodatniej wynosi $\approx 0.77$ .

Gdzie jest błąd? Lub gdzie coś mi brakuje?

EDYCJA: Przeskalowałem histogram, aby wyświetlić plik PDF.

EDYCJA 2: Myślę, że wiem, gdzie jest problem w moim rozumowaniu - w granicach integracji. Ponieważ i , nie mogę po prostu . Wykres pokazuje region, w którym muszę się zintegrować:x - y ∈ ( 0 , 1 ] ∫ x $y\in (0,4]$$x-y\in(0,1]$$\int_0^x$

Oznacza to, że mam dla (dlatego część mojego była poprawna), in i in . Niestety Mathematica nie oblicza dwóch ostatnich całek (cóż, oblicza drugą, ponieważ w wyniku znajduje się wyimaginowana jednostka, która psuje wszystko ... ). lat ∈ ( 0 , 1 ] f ∫ x x - 1 rok ∈ ( 1 , 4 ] ∫ 4 x - 1 rok ∈ ( 4 , 5 $\int_0^x$$y\in(0,1]$$f$$\int_{x-1}^x$$y\in(1,4]$$\int_{x-1}^4$$y\in (4,5]$

EDYCJA 3: Wygląda na to, że Mathematica MOŻE obliczyć trzy ostatnie całki za pomocą następującego kodu:

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,0,u1}, Assumptions ->0 <= u2 <= u1 && u1 > 0]

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,u1}, Assumptions -> 1 <= u2 <= 3 && u1 > 0]

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,4}, Assumptions -> 4 <= u2 <= 4 && u1 > 0]

co daje poprawną odpowiedź :)

Często pomaga korzystać z funkcji dystrybucji skumulowanej.

Pierwszy,

$$F(x) = \Pr((a-d)^2 \le x) = \Pr(|a-d| \le \sqrt{x}) = 1 - (1-\sqrt{x})^2 = 2\sqrt{x} - x.$$

Kolejny,

$$G(y) = \Pr(4 b c \le y) = \Pr(b c \le \frac{y}{4}) = \int_0^{y/4} dt + \int_{y/4}^1\frac{y\,dt}{4t} = \frac{y}{4}\left(1 - \log\left(\frac{y}{4}\right)\right).$$

Niech zawierać się między najmniejszą ( ) a największą ( ) możliwą wartością . Zapisując z CDF i z PDF , musimy obliczyć$\delta$$0$$5$$(a-d)^2 + 4 b c$$x=(a-d)^2$$F$$y=4 b c$$g = G^\prime$

$$H(\delta) = \Pr((a-d)^2 + 4 b c \le \delta) = \Pr(x\le \delta-y) = \int_0^4 F(\delta-y)g(y)dy.$$

Można się spodziewać, że będzie to nieprzyjemne - jednolity rozkład pliku PDF jest nieciągły i dlatego powinien powodować przerwy w definicji więc jest to dość niesamowite, że Mathematica uzyskuje formę zamkniętą (której nie będę tutaj reprodukować). Zróżnicowanie go względem daje pożądaną gęstość. Jest on definiowany fragmentarycznie w trzech odstępach czasu. W ,$H$$\delta$$0 \lt \delta \lt 1$

$$H^\prime(\delta) = h(\delta) = \frac{1}{8} \left(8 \sqrt{\delta }+\delta (-(2+\log (16)))+2 \left(\delta -2 \sqrt{\delta }\right) \log (\delta )\right).$$

W ,$1 \lt \delta \lt 4$

$$h(\delta) = \frac{1}{4} \left(-(\delta +1) \log (\delta -1)+\delta \log (\delta )-4 \sqrt{\delta } \coth ^{-1}\left(\sqrt{\delta }\right)+3+\log (4)\right).$$

I w ,$4 \lt \delta \lt 5$

$$\eqalign{ &h(\delta) = \\ &\frac{1}{4}\left(\delta -4 \sqrt{\delta -4}+(\delta +1) \log \left(\frac{4}{\delta -1}\right)+4 \sqrt{\delta } \tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{(\delta -4) \delta }-\sqrt{\delta }}{\delta -\sqrt{\delta -4}}\right)-1\right). }$$

Ta liczba nakłada wykres na histogramie iid realizacji . Oba są prawie nie do odróżnienia, co sugeruje poprawność wzoru na .$h$$10^6$$(a-d)^2 + 4bc$$h$

---

Poniżej znajduje się prawie bezmyślne rozwiązanie Mathematica o brutalnej sile . Automatyzuje praktycznie wszystko w obliczeniach. Na przykład obliczy nawet zakres wynikowej zmiennej:

ClearAll[ a, b, c, d, ff, gg, hh, g, h, x, y, z, zMin, zMax, assumptions];
assumptions = 0 <= a <= 1 && 0 <= b <= 1 && 0 <= c <= 1 && 0 <= d <= 1; 
zMax = First@Maximize[{(a - d)^2 + 4 b c, assumptions}, {a, b, c, d}];
zMin = First@Minimize[{(a - d)^2 + 4 b c, assumptions}, {a, b, c, d}];

Oto cała integracja i zróżnicowanie. (Bądź cierpliwy; obliczenie zajmuje kilka minut.)$H$

ff[x_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[Boole[(a - d)^2 <= x], {a, 0, 1}, {d, 0, 1}];
gg[y_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[Boole[4 b c <= y], {b, 0, 1}, {c, 0, 1}];
g[y_]  := Evaluate@FullSimplify@D[gg[y], y];
hh[z_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[ff[-y + z] g[y], {y, 0, 4}, 
          Assumptions -> zMin <= z <= zMax];
h[z_]  :=  Evaluate@FullSimplify@D[hh[z], z];

Na koniec symulacja i porównanie z wykresem :$h$

x = RandomReal[{0, 1}, {4, 10^6}];
x = (x[[1, All]] - x[[4, All]])^2 + 4 x[[2, All]] x[[3, All]];
Show[Histogram[x, {.1}, "PDF"], 
 Plot[h[z], {z, zMin, zMax}, Exclusions -> {1, 4}], 
 AxesLabel -> {"\[Delta]", "Density"}, BaseStyle -> Medium, 
 Ticks -> {{{0, "0"}, {1, "1"}, {4, "4"}, {5, "5"}}, Automatic}]

Podobnie jak OP i whuber, użyłbym niezależności, aby rozbić to na prostsze problemy:

Niech . Zatem pdf , powiedzmy to:$X = (a-d)^2$$X$$f(x)$

Niech . Zatem pdf , powiedzmy to:$Y = 4 b c$$Y$$g(y)$

Problem sprowadza się do znalezienia się wersję . Może być na to wiele sposobów, ale najprostszym dla mnie jest użycie funkcji wywoływanej z bieżącej wersji rozwojowej mathStatica . Niestety nie jest to obecnie dostępne w publicznym wydaniu, ale oto dane wejściowe:$X + Y$TransformSum

TransformSum[{f,g}, z]

który zwraca pdf jako funkcję częściową:$Z = X + Y$

Oto wykres właśnie pobranego pliku pdf, powiedzmy :$h(z)$

Szybkie sprawdzenie Monte Carlo

Poniższy diagram porównuje empiryczne przybliżenie Monte Carlo pdf (squiggly niebieski) z teoretycznym pdf wyprowadzonym powyżej (czerwony przerywany). Wygląda w porządku.