Liniowa kombinacja dwóch losowych nienormalnych, która wciąż jest członkiem tej samej rodziny

9

Dobrze wiadomo, że liniowa kombinacja 2 losowych zmiennych normalnych jest również losową zmienną normalną. Czy istnieją jakieś wspólne niestandardowe rodziny dystrybucji (np. Weibull), które również dzielą tę właściwość? Wydaje się, że istnieje wiele kontrprzykładów. Na przykład liniowa kombinacja mundurów zwykle nie jest jednolita. W szczególności, czy istnieją jakieś nienormalne rodziny dystrybucji, w których spełnione są oba poniższe warunki:

  1. Liniowa kombinacja dwóch zmiennych losowych z tej rodziny jest równoważna z pewnym rozkładem w tej rodzinie.
  2. Wynikowy parametr (parametry) można zidentyfikować jako funkcję oryginalnych parametrów i stałych w kombinacji liniowej.

Szczególnie interesuje mnie ta kombinacja liniowa:

Y=X1w+X2(1w2)

gdzie i są próbkowane z nietypowej rodziny o parametrach i , a pochodzi z tej samej nienormalnej rodziny o parametrze .X1X2θ1θ2YθY=f(θ1,θ2,w)

Dla uproszczenia opisuję rodzinę dystrybucji z 1 parametrem, ale jestem otwarty na rodziny dystrybucji z wieloma parametrami.

Szukam też przykładów, w których jest dużo przestrzeni parametrów na i do pracy na potrzeby symulacji. Jeśli możesz znaleźć tylko przykład, który działa dla niektórych bardzo specyficznych i , byłoby to mniej pomocne.θ1θ2θ1θ2

Anthony
źródło
1
Dzięki. Naprawdę szukam wspólnych niestandardowych rodzin (np. Weibull). Spróbuję również wyjaśnić, że wynikowy parametr (parametry) powinny być funkcjami oryginalnych parametrów dla szerokiej gamy oryginalnych parametrów. Oznacza to, że powinno być dużo przestrzeni parametrów do pracy na potrzeby symulacji.
Anthony
4
Zakładając, że mówimy o dowolnych liniowych kombinacjach niezależnych zmiennych losowych, istnieją rozkłady stabilne (Lévy) . Cała klasa takich rozkładów w pełni charakteryzuje się ich charakterystyczną funkcją przyjmującą określoną postać. Tylko nieliczni mają gęstość ze znanymi wyrażeniami zamkniętymi.
kardynał
2
Stajenie alfa wymienione przez @cardinal są odpowiedzią, a jeśli dobrze rozumiem, jedyną odpowiedzią, jeśli parametry muszą być lokalizacją i skalą, ale czy są inne odpowiedzi, jeśli parametry nie muszą być lokalizacją + skalą? (Chociaż być może jest to tak daleko od tego, czego chciał PO, powinno to być osobne pytanie).
Juho Kokkala,
1
Interesują mnie odpowiedzi, nawet jeśli parametry nie są lokalizacją ani skalą.
Anthony
2
@Juho Myślę, że odpowiedź brzmi tak. Sumy rozkładów odpowiadają (punktowo) sumom skumulowanych funkcji generujących (zdefiniowanych jako logarytm funkcji charakterystycznej), więc zamknięcie zestawu rozkładów podczas sumowania jest naturalnie zawarte w zestawie wszystkich rozkładów, które są (rzeczywistymi) kombinacjami liniowymi tych cgf.
whuber

Odpowiedzi:

3

Dobrze wiadomo, że liniowa kombinacja 2 losowych zmiennych normalnych jest również losową zmienną normalną. Czy istnieją jakieś wspólne niestandardowe rodziny dystrybucji (np. Weibull), które również dzielą tę właściwość?

Rozkład normalny spełnia ładną tożsamość splotową: . Jeśli odwołujesz się do centralnego twierdzenia o limicie, to na przykład te rozkłady gamma o tym samym współczynniku kształtu miałyby tę samą właściwość i byłyby zbieżne jak rozkłady gamma. Zobacz Uwaga ostrzegawcza dotycząca odwołania się do twierdzenia o limicie centralnym . Ogólnie jednak, przy nierównych współczynnikach kształtu, rozkłady gamma „dodają” przez splot, który nie byłby rozkładem gamma, ale raczej funkcją gamma zwielokrotniającą funkcję hipergeometryczną pierwszego rodzaju, jak stwierdzono w równaniu. (2) zX1N[μ1,σ12],X2N[μ2,σ22]X1+X2N[μ1+μ2,σ12+σ22]splot dwóch rozkładów gamma . Inna definicja dodawania, czyli tworzenia rozkładu mieszanin niepowiązanych procesów, niekoniecznie wykazywałaby centralną granicę, na przykład, gdyby środki były różne.

Są prawdopodobnie inne przykłady, nie przeprowadziłem wyczerpującego wyszukiwania. Zamknięcie splotu nie wydaje się zbyt dalekie. W przypadku kombinacji liniowej produktem Pearson VII z Pearson VII jest kolejny Pearson VII .

Carl
źródło
3
Możesz dodać niezależne zmienne losowe Gamma z tym samym parametrem skali i uzyskać inną gamma z tym samym parametrem skali, ale nie możesz przyjmować dowolnych kombinacji liniowych. Istnieje wiele dobrze znanych rozkładów, dla których można pobierać sumy, ale nie dowolne kombinacje liniowe i pozostać w tej rodzinie. (Jest już tutaj usunięta odpowiedź, która powoduje ten sam błąd)
Glen_b
1
Prawdą jest, że splot dwóch rozkładów gamma , patrz równanie. 2, daje coś innego niż rozkład gamma, jeśli o to ci chodzi.
Carl
Artykuł wyraźnie stwierdza, że ​​liniowa kombinacja gamma nie jest gamma (oprócz tego samego wyjątku, o którym już wspomniałem) i wydaje się całkowicie zgodna z tym, co powiedziałem. Nie jestem pewien, o co mnie pytasz, ale artykuł potwierdza moje twierdzenie, że twoja odpowiedź wydaje się potwierdzać coś, co nie jest prawdą.
Glen_b
Nie pytam, mówiąc ogólnie, jaka jest suma. Zmodyfikowałem odpowiedź, aby powiedzieć „niektóre”. Jeśli to nie wystarczy, skreślę moją pokorną próbę pomocy. I pytam: „Wystarczająco dobrze, czy nie?”
Carl
2
Odpowiedź jest teraz nieco jasna. Możesz przenieść niektóre informacje z komentarza do odpowiedzi (przynajmniej informacje dotyczące tego, co było w gazecie i link do niego, chociaż powinienem podać odpowiednie odniesienie)
Glen_b
2

Dobrze wiadomo, że liniowa kombinacja 2 losowych zmiennych normalnych jest również losową zmienną normalną. Czy istnieją jakieś wspólne niestandardowe rodziny dystrybucji (np. Weibull), które również dzielą tę właściwość?

Wygląda na to, że szukasz klasy dystrybucji stabilnych w systemie Levy . To jest klasa wszystkich dystrybucji które spełniają właściwość stabilności:PPP

X1,X2,X3IID P(a)(b)(c>0)(d): aX1+bX2DistcX3+d.

Innymi słowy, dla każdego rozkładu w tej klasie, jeśli weźmiesz funkcję liniową dwóch niezależnych zmiennych losowych z tym rozkładem, to ma on taki sam rozkład jak funkcja afiniczna pojedynczej zmiennej losowej z tym rozkładem. (Należy zauważyć, że ten wymóg stabilności można zaostrzyć, ustawiając , co daje podklasę ściśle stabilnych rozkładów.)d=0

Rozkłady stabilne podatkowo można uznać za odrębną rodzinę rozkładów iw tym sensie jest to jedyna rodzina rozkładów z tą właściwością stabilności, ponieważ (z definicji) obejmuje wszystkie rozkłady z tą właściwością. Rozkład normalny mieści się w klasie dystrybucji Levy-stabilne, tak jak rozkład Cauchy'ego , do dystrybucji Landau , a rozkład Holtsmark .

Ben - Przywróć Monikę
źródło