Jaka jest wariancja długoterminowa?

Jest to miara błędu standardowego średniej próbki, gdy występuje szeregowa zależność.

Jeśli jest kowariancją stacjonarną z i (w ustawieniu iid ta liczba będzie wynosić zero!) Tak, że . Następnie gdzie pierwsza równość jest ostateczna , drugi jest nieco trudniejszy do ustalenia, a trzeci konsekwencją stacjonarności, co oznacza, że . $Y_t$ $E(Y_t)=\mu$ $Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j$ $\sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty$

lim_{T \to \infty} {V a r [\sqrt{T} ({\bar{Y}}_{T} - μ)]} = lim_{T \to \infty} {T E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2}} = \sum_{j = - \infty}^{\infty} γ_{j} = γ_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{\infty} γ_{j},

$\lim_{T\to\infty}\{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}_T- \mu)]\}=\lim_{T\to\infty}\{TE(\bar{Y}_T- \mu)^2\}=\sum_{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j,$

γ_{j} = γ_{- j}

$\gamma_j=\gamma_{-j}$

Tak więc problemem jest rzeczywiście brak niezależności. Aby to lepiej zrozumieć, napisz wariancję średniej próbki jako

\begin{aligned} E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2} & = E {[(1 / T) \sum_{t = 1}^{T} (Y_{t} - μ)]}^{2} \\ = 1 / T^{2} E [{(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)} \\ {(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)}] \\ = 1 / T^{2} {[γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 1}] + [γ_{1} + γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 2}] \\ + \dots + [γ_{T - 1} + γ_{T - 2} + \dots + γ_{1} + γ_{0}]} \end{aligned}

$\begin{align*} E(\bar{Y}_T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum_{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\\ &=1/T^2E[\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}\\ &\quad\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}]\\ &=1/T^2\{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]\} \end{align*}$

Problem z oszacowaniem wariancji długoterminowej polega na tym, że oczywiście nie obserwujemy wszystkich autokowariancji ze skończonymi danymi. W tym celu stosuje się jądro (w ekonometrii „estymatory Newey-West” lub estymatory HAC),

\hat{J_{T}} \equiv {\hat{γ}}_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{T - 1} k (\frac{j}{ℓ_{T}}) {\hat{γ}}_{j}

$\hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j$

k

$k$ to funkcja jądra lub funkcji ważenia, to przykładowe autokowariancje. , między innymi musi być symetryczny i mieć . jest parametrem przepustowości.

{\hat{γ}}_{j}

$\hat\gamma_j$

k

$k$

k (0) = 1

$k(0)=1$

ℓ_{T}

$\ell_T$

Popularnym jądrem jest jądro Bartlett Dobrymi odniesieniami do podręczników są Hamilton, Analiza czasowych lub Fuller . Najważniejszym (ale technicznym) artykułem jest Newey and West, Econometrica 1987 .

k (\frac{j}{ℓ_{T}}) = {\begin{cases} (1 - \frac{j}{ℓ_{T}}) & for 0 ⩽ j ⩽ ℓ_{T} - 1 \\ 0 & for j > ℓ_{T} - 1 \end{cases}

$k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \\ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases}$

Christoph Hanck
źródło

Dziękuję Ci! Sprawdziłem Analiza szeregów czasowych według Hamiltona. W rzeczywistości mówi, że nieparametrycznym sposobem oszacowania widma jest przyjęcie średniej ważonej kowariancji próbki, ale nie zagłębia się w matematykę stojącą za określeniem tego stwierdzenia. Czy możesz zasugerować książkę referencyjną lub artykuł wyjaśniający, dlaczego jest to dobry estymator, gdy zwiększa się wielkość próbki?

Monolite

Słuszna uwaga.

Wprowadzono

Być może warto wspomnieć, że drugi („trudny”) krok wymaga dominacji zbieżności (patrz stats.stackexchange.com/questions/154070/… ).

Tamas Ferenci

@TamasFerenci, dzięki za wskaźnik, zamieściłem link.

Christoph Hanck

@Cristoph Hanck, nie ma za co, dzięki za aktualizację!

Tamas Ferenci

Jaka jest wariancja długoterminowa?

Odpowiedzi: