Wariancja iloczynu zmiennych zależnych

31

Jaki jest wzór na wariancję iloczynu zmiennych zależnych?

W przypadku zmiennych niezależnych formuła jest prosta:

var(XY)=E(X2Y2)E(XY)2=var(X)var(Y)+var(X)E(Y)2+var(Y)E(X)2
Ale jaki jest wzór na zmienne skorelowane?

Przy okazji, jak mogę znaleźć korelację na podstawie danych statystycznych?

Ryga
źródło

Odpowiedzi:

32

Używając znajomej tożsamości, którą wskazałeś,

var(XY)=E(X2Y2)E(XY)2

Stosując analogiczną formułę kowariancji,

E(X2Y2)=cov(X2,Y2)+E(X2)E(Y2)

i

E(XY)2=[cov(X,Y)+E(X)E(Y)]2

co oznacza, że ​​ogólnie, można zapisać jakovar(XY)

cov(X2,Y2)+[var(X)+E(X)2][var(Y)+E(Y)2][cov(X,Y)+E(X)E(Y)]2

Należy zauważyć, że w przypadku niezależności a to zmniejsza się docov(X2,Y2)=cov(X,Y)=0

[var(X)+E(X)2][var(Y)+E(Y)2][E(X)E(Y)]2

i dwa warunki anulują się i otrzymasz[E(X)E(Y)]2

var(X)var(Y)+var(X)E(Y)2+var(Y)E(X)2

jak wskazałeś powyżej.

Edycja: Jeśli wszystko, co obserwujesz, to a nie X i Y osobno, to nie sądzę, że istnieje sposób na oszacowanie c o v ( X , Y ) lub c o v ( X 2 , Y 2 ), z wyjątkiem w szczególnych przypadkach (na przykład, jeśli X , Y mają środki znane z góry )XYXYcov(X,Y)cov(X2,Y2)X,Y

Makro
źródło
2
dlaczego wstawiasz [var (X) + E (X) 2] ⋅ [var (Y) + E (Y) 2] zamiast E (X2) E (Y2) ???
1
@ user35458, aby mógł skończyć z równaniem jako wyrażeniem var (X) i var (Y), a więc porównywalnym do wyrażenia OP. Zauważ, że E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2.
Waldir Leoncio
2
nn1
14

(1)var(XY)=E[(XY)2](E[XY])2=E[(XY)2](cov(X,Y)+E[X]E[Y])2(2)=E[X2Y2](cov(X,Y)+E[X]E[Y])2(3)=(cov(X2,Y2)+E[X2]E[Y2])(cov(X,Y)+E[X]E[Y])2
cov(X,Y)E[X]E[Y]E[X2]E[Y2]E[X2Y2](2)cov(X2,Y2)(3)XYcov(X,Y)=cov(X2,Y2)=0cov(X,Y)0E[X2Y2]cov(X2,Y2)(2)(3)

XYE[X2Y2]

XYρX=xYE[Y]+ρvar(Y)var(X)(xE[X])var(Y)(1ρ2)

E[X2Y2X]=X2E[Y2X]=X2[var(Y)(1ρ2)+(E[Y]+ρvar(Y)var(X)(XE[X]))2]
Xg(X)
(4)E[X2Y2]=E[E[X2Y2X]]=E[g(X)]
(4)X

XY

(5)Var[xy]=(E[x])2Var[y]+(E[y])2Var[x]+2E[x]Cov[x,y2]+2E[y]Cov[x2,y]+2E[x]E[y]Cov[x,y]+Cov[x2,y2](Cov[x,y])2
Cov[x2,y2]E[(xE[x])2(yE[y])2]Cov[x2,y]Cov[x,y2]
Dilip Sarwate
źródło
E(X2Y2)