To pytanie pochodzi z wprowadzenia Roberta Hogga do statystyki matematycznej, problem 6. wersji 7.4.9 na stronie 388.
Niech będzie oznaczony pdf 1/3 zero w innym miejscu, gdzie .X1,...,Xnf(x;θ)=1/3θ,−θ<x<2θ,θ>0
(a) Znajdź mle zθ^θ
(b) Czy to wystarczająca statystyka dla ? Dlaczego ?θ^θ
(c) Czy jest unikalnym MVUE z ? Dlaczego ?(n+1)θ^/nθ
Myślę, że mogę rozwiązać (a) i (b), ale myli mnie (c).
Dla):
Niech będą statystykami zamówienia.Y1<Y2<...Yn
L(θ;x)=13θ×13θ×...×13θ=1(3θ)n kiedy i ; gdzie indziejrok n < 2 θ L ( θ ; x ) = 0−θ<y1yn<2θL(θ;x)=0
dL(θ;x)dθ=−n(3θ)n−1 , ponieważ , widzimy, że ta pochodna jest ujemna,θ>0
więc funkcja prawdopodobieństwa maleje.L(θ;x)
Od i , i y n < 2 θ ) ⇒ ( θ > - y 1 θ > y n / 2 ) , ⇒ θ > m a x ( - y 1 , y n / 2 )(−θ<y1yn<2θ)⇒ (θ>−y1θ>yn/2),⇒θ>max(−y1,yn/2)
θ θ > m a x ( - y 1 , y n / 2 ) θ = m a x ( - y 1 , y n / 2 )L(θ,x) maleje, więc gdy ma największą wartość, funkcja prawdopodobieństwa osiągnie maksimum, ponieważ , gdy funkcja prawdopodobieństwa osiągnie wartość maksymalną.θθ>max(−y1,yn/2)θ=max(−y1,yn/2)
∴ mleθ^=max(−y1,yn/2)
Dla (b):
f(x1;θ)f(x2;θ)...f(xn;θ)=1(3θ)n∏niI(−θ<xi<2θ)=1(3θ)nI(max(xi)<2θ)×1
∴ przez twierdzenie Neymana o faktoryzacji jest wystarczającą statystyką dla . Dlatego jest również wystarczającą statystykąyn=max(xi)θyn/2
Samely
f(x1;θ)f(x2;θ)...f(xn;θ)=1(3θ)n∏niI(−θ<xi<2θ)=1(3θ)nI(min(xi)>−θ)×1
∴ przez twierdzenie Neymana o faktoryzacji jest wystarczającą statystyką dla . Dlatego też jest również wystarczającą statystyką.y1=min(xi)θ−y1
Dla (c):
Najpierw znajdujemy CDFX
F(x)=∫x−θ13θdt=x+θ3θ,−θ<x<2θ
Następnie możemy znaleźć pdf zarówno dla jak i ze wzoru książki dla statystyk zamówień.Y1Yn
f(y1)=n!(1−1)!(n−1)![F(y1)]1−1[1−F(y1)]n−1f(y1)=n[1−y1+θ3θ]n−113θ=n1(3θ)n(2θ−y1)n−1
Samely
f(yn)=n(yn+θ3θ)n−113θ=n1(3θ)n(yn+θ)n−1
Następnie pokażemy kompletność rodziny PDF dla if(y1)f(yn)
E[u(Y1)]=∫2θ−θu(y1)n1(3θ)n(2θ−y1)n−1dy1=0⇒∫2θ−θu(y1)(2θ−y1)dy1=0 . Przez (wyprowadzenie całki) możemy pokazać dla wszystkich .FTCu(θ)=0θ>0
Dlatego rodzina pdf jest kompletna.Y1
Podobnie, nadal przez , możemy pokazać, że rodzina pdf jest kompletna.FTCYn
Problem polega na tym, że musimy teraz pokazać, że jest bezstronny.(n+1)θ^n
Kiedyθ^=−y1
E(−y1)=∫2θ−θ(−y1)n(3θ)n(2θ−y1)n−1dy1=1(3θ)n∫2θ−θy1d(2θ−y1)n
Możemy rozwiązać całkę integrując przez części
E(−y1)=1(3θ)n[y1(2θ−y1)n∣2θ−θ−∫2θ−θ(2θ−y1)ndy1]=1(3θ)n[θ(3θ)n−(3θ)n+1n+1]=θ−3θn+1=(n−2)θn+1
∴E((n+1)θ^n)=n+1nE(−y1)=n+1n(n−2)θn+1=n−2nθ
Dlatego nie jest bezstronnym estymatorem gdy(n+1)θ^nθθ^=−y1
Kiedyθ^=yn/2
E(Yn)=∫2θ−θynn(3θ)n(yn+θ)n−1dyn=1(3θ)n∫2θ−θynd(yn+θ)n=1(3θ)n[yn(yn+θ)n∣2θ−θ−∫2θ−θ(yn+θ)ndyn]=1(3θ)n[2θ(3θ)−(3θ)n+1n+1]=2θ−3θn+1=2n−1n+1θ
∴E((n+1)θ^n)=n+1nE(Yn/2)=n+12nE(Yn)=n+12n2n−1n+1θ=2n−12nθ
Mimo to nie jest bezstronnym estymatorem gdy(n+1)θ^nθθ^=yn/2
Ale odpowiedź książki jest taka, że to unikalny MVUE. Nie rozumiem, dlaczego jest to MVUE, jeśli jest stronniczym estymatorem.(n+1)θ^n
Lub moje obliczenia są błędne, pomóż mi znaleźć błędy, mogę podać bardziej szczegółowe obliczenia.
Dziękuję Ci bardzo.
Odpowiedzi:
Praca z ekstrema wymaga opieki, ale nie musi być trudna. Najważniejsze pytanie, które znajduje się w pobliżu środka postu, brzmi:
Wcześniej uzyskałeś
Chociaż który wygląda brudny, obliczenia stać elementarne jeśli wziąć pod uwagę dystrybuanty . Aby rozpocząć, zwróć uwagę, że . Niech będzie liczbą w tym zakresie. Zgodnie z definicją,F 0≤θ^≤θ t
Jest to szansa, że wszystkie wartości leżą między a . Wartości te ograniczały przedział długości . Ponieważ rozkład jest równomierny, prawdopodobieństwo, że dowolny konkretny leży w tym przedziale, jest proporcjonalne do jego długości:n −t 2t 3t yi
Ponieważ są niezależne, prawdopodobieństwa te mnożą się, dającyi
Oczekiwania można natychmiast znaleźć, całkując funkcję przeżycia w przedziale możliwych wartości dla , , używając dla zmiennej:1−F θ^ [0,θ] y=t/θ
(Ta formuła oczekiwania pochodzi od zwykłej całki poprzez integrację przez części. Szczegóły podano na końcu https://stats.stackexchange.com/a/105464 .)
Przeskalowanie o daje(n+1)/n
QED .
źródło