Estymator maksymalnego prawdopodobieństwa dla ujemnego rozkładu dwumianowego

Pytanie jest następujące:

Losowa próbka n wartości jest pobierana z ujemnego rozkładu dwumianowego o parametrze k = 3.

1. Znajdź estymator największego prawdopodobieństwa parametru π.
2. Znajdź asymptotyczną formułę błędu standardowego tego estymatora.
3. Wyjaśnij, dlaczego ujemny rozkład dwumianowy będzie w przybliżeniu normalny, jeśli parametr k jest wystarczająco duży. Jakie są parametry tego normalnego przybliżenia?

Moja praca była następująca:
1. Wydaje mi się, że to jest to, czego chcę, ale nie jestem pewien, czy jestem tutaj dokładny, czy też mogę to kontynuować, biorąc pod uwagę dostarczone informacje?

2. Myślę, że o to poproszono. W końcowej części czuję, że muszę zastąpić $\hat{\pi}$ przez $\dfrac{k}{x}$

   $$\ell``(\hat{\pi}) = -\dfrac{k}{\hat{\pi}^2} + \dfrac{x}{(1-\hat{\pi})^2}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{-\dfrac{1}{\ell``(\hat{\pi})}}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{\dfrac{\hat{\pi}^2}{k} - \dfrac{(1-\hat{\pi})^2}{x}}\\$$

3. Nie jestem do końca pewien, jak to udowodnić i wciąż go badam. Wszelkie wskazówki i przydatne linki będą mile widziane. Wydaje mi się, że ma to związek z faktem, że ujemny rozkład dwumianowy można postrzegać jako zbiór rozkładów geometrycznych lub odwrotność rozkładu dwumianowego, ale nie jestem pewien, jak do niego podejść.

Jakakolwiek pomoc byłaby bardzo mile widziana

1.

$p(x) = {x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}$

$L(\pi;x_i) = \prod_{i=1}^{n}{x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}\\$

$\ell(\pi;x_i) = \sum_{i=1}^{n}[log{x_i-1 \choose k-1}+klog(\pi)+(x_i-k)log(1-\pi)]\\ \frac{d\ell(\pi;x_i)}{d\pi} = \sum_{i=1}^{n}[\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{(x_i-k)}{(1-\pi)}]$

Ustaw to na zero,

$\frac{nk}{\pi}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i-nk}{1-\pi}$

$\therefore$ $\hat\pi=\frac{nk}{\sum_{i=1}^nx}$

2)

W drugiej części musisz użyć twierdzenia, że , jest tutaj informacją o rybaku. Dlatego odchylenie standardowe będzie wynosić . Lub nazywasz to standardowym błędem, ponieważ używasz tutaj CLT.$\sqrt{n}(\hat\theta-\theta) \overset{D}{\rightarrow}N(0,\frac{1}{I(\theta)})$$I(\theta)$$\hat\theta$$[nI(\theta)]^{-1/2}$

Musimy więc obliczyć informacje Fishera dla ujemnego rozkładu dwumianowego.

$\frac{\partial^2 \log(P(x;\pi))}{\partial\pi^2}=-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2}$

$I(\theta)=-E(-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2})=\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi}$

Uwaga: dla ujemnego dwumianowego pmf$E(x) =\frac{k}{\pi}$

Dlatego standardowym błędem dla jest$\hat \pi$$[n(\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi})]^{-1/2}$

Uprość, że otrzymamy$se(\pi)=\sqrt{\dfrac{\pi^2(\pi-1)}{kn}}$

3)

Rozkład geometryczny jest szczególnym przypadkiem ujemnego rozkładu dwumianowego, gdy k = 1. Uwaga jest rozkładem geometrycznym$\pi(1-\pi)^{x-1}$

Dlatego ujemną zmienną dwumianową można zapisać jako sumę k niezależnych, identycznie rozmieszczonych (geometrycznych) zmiennych losowych.

Zatem według CLT ujemny rozkład dwumianowy będzie w przybliżeniu normalny, jeśli parametr k jest wystarczająco duży