Dlaczego tak się nazywa zmienna losowa „ujemna dwumianowa”?

Odpowiedzi:

24

Jest to odniesienie do faktu, że pewien współczynnik dwumianowy, który pojawia się we wzorze dla tego rozkładu, można napisać prościej za pomocą liczb ujemnych.

Gdy przeprowadzasz serię eksperymentu z prawdopodobieństwem sukcesu p , prawdopodobieństwo, że zobaczysz r awarii po dokładnie k próbach, wynosi

pk(1-p)r.(k+r1k) pk(1p)r

Można to również zapisać jako

( - r(1)kpk(1-p)r(rk)pk(1p)r

a słowo „negatywne” odnosi się do tego tym współczynniku dwumianowym. Zauważ, jak ta formuła wygląda tak samo jak formuła dla zwykłego rozkładu dwumianowego, z wyjątkiem tego współczynnika znaku.r

Inną nazwą ujemnego rozkładu dwumianowego jest rozkład Pascala, więc i on też istnieje.

================================================== =======================

Bardziej szczegółowa odpowiedź według Wikipedii:

Funkcja masy prawdopodobieństwa ujemnego rozkładu dwumianowego wynosi

f(k;r,p)Pr(X=k)=(k+r1k)pk(1p)rfor k=0,1,2,

Tutaj ilość w nawiasach jest dwumianowym współczynnikiem i jest równa

(k+r1k)=(k+r1)!k!(r1)!=(k+r1)(k+r2)(r)k!

Tę ilość można alternatywnie zapisać w następujący sposób, wyjaśniając nazwę „dwumian ujemny”:

(k+r1)(r)k!=(1)k(r)(r1)(r2)(rk+1)k!=(1)k(rk)


źródło
3
(kr)pkr(1p)rrk+r1pkpk1
rkkr
-4

Mieszkańcy StatsExchange Po pierwsze, dobra wiadomość, ten autor kopiuje formułę Wikipedii, więc wszystko jest w porządku. Opis napisany przez tego autora był niepoprawny. Powinien był zapisać prawdopodobieństwo wystąpienia awarii po śladach k + r.
Zauważ, że w pierwszych próbach k + r-1 występują dokładnie awarie r-1 i k sukcesów. Stąd wzór poprawnie obejmuje (k + r-1 C r-1) p ^ k (1-p) ^ (r-1).
Zatem z definicji ostateczna próba, a mianowicie próba k ​​+ r, musi być r. Niepowodzeniem. To wydarzenie jest niezależne, więc po prostu mnożymy jego prawdopodobieństwo 1-p, aby znaleźć podane prawdopodobieństwo.

Shawn Berry
źródło
Witamy w Stats.SE. Skorzystaj z okazji, aby wybrać się na wycieczkę ( stats.stackexchange.com/tour ), jeśli jeszcze tego nie zrobiłeś. Zobacz także kilka wskazówek dotyczących formatowania pomocy i zapisywania równań za pomocą LaTeX / MathJax .
Ertxiem