Dlaczego tak się nazywa zmienna losowa „ujemna dwumianowa”?

Nie rozumiem, dlaczego zmienna losowa „ujemny dwumianowy” ma taką nazwę. Co jest w tym negatywnego? Co jest w tym dwumianowe? Co to jest w tym przypadku dwumian ujemny?

Jest to odniesienie do faktu, że pewien współczynnik dwumianowy, który pojawia się we wzorze dla tego rozkładu, można napisać prościej za pomocą liczb ujemnych.

Gdy przeprowadzasz serię eksperymentu z prawdopodobieństwem sukcesu $p$ , prawdopodobieństwo, że zobaczysz $r$ awarii po dokładnie $k$ próbach, wynosi

pk(1-p)r.${k+r−1}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$

Można to również zapisać jako

( - $(−1)^k$pk(1-p)${−r}\choose {k}$$p^k(1−p)^r$

a słowo „negatywne” odnosi się do tego tym współczynniku dwumianowym. Zauważ, jak ta formuła wygląda tak samo jak formuła dla zwykłego rozkładu dwumianowego, z wyjątkiem tego współczynnika znaku.$−r$

Inną nazwą ujemnego rozkładu dwumianowego jest rozkład Pascala, więc i on też istnieje.

================================================== =======================

Bardziej szczegółowa odpowiedź według Wikipedii:

Funkcja masy prawdopodobieństwa ujemnego rozkładu dwumianowego wynosi

$f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^k(1-p)^r \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc$

Tutaj ilość w nawiasach jest dwumianowym współczynnikiem i jest równa

$\binom{k+r-1}{k} = \frac{(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!}$

Tę ilość można alternatywnie zapisać w następujący sposób, wyjaśniając nazwę „dwumian ujemny”:

$\frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} = (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}$

Mieszkańcy StatsExchange Po pierwsze, dobra wiadomość, ten autor kopiuje formułę Wikipedii, więc wszystko jest w porządku. Opis napisany przez tego autora był niepoprawny. Powinien był zapisać prawdopodobieństwo wystąpienia awarii po śladach k + r.
Zauważ, że w pierwszych próbach k + r-1 występują dokładnie awarie r-1 i k sukcesów. Stąd wzór poprawnie obejmuje (k + r-1 C r-1) p ^ k (1-p) ^ (r-1).
Zatem z definicji ostateczna próba, a mianowicie próba k ​​+ r, musi być r. Niepowodzeniem. To wydarzenie jest niezależne, więc po prostu mnożymy jego prawdopodobieństwo 1-p, aby znaleźć podane prawdopodobieństwo.