Zestaw nieskorelowanych, ale liniowo zależnych zmiennych
9
Czy można mieć zestaw zmiennych, które są nieskorelowane, ale zależne liniowo?K
tj.
i \ sum_ {i = 1} ^ K a_ix_i = 0c o r (xja,xjot) = 0∑K.i = 1zajaxja= 0
Jeśli tak, czy możesz napisać przykład?
EDYCJA: Z odpowiedzi wynika, że nie jest to możliwe.
Czy przynajmniej byłoby możliwe, że P ( |ρ^xja,xjot-ρ^xja, v| <ϵ) gdzie ρ^ jest szacowanym współczynnikiem korelacji oszacowanym na podstawie n próbek zmiennych i v jest zmienną nieskorelowaną z xja .
Myślę o czymś takim jak xK.=1K.∑K.- 1i = 1xjaK.> > 0
Jak pokazuje odpowiedź @ RUser4512, nieskorelowane zmienne losowe nie mogą być zależne liniowo. Ale prawie nieskorelowane zmienne losowe mogą być liniowo zależne, a jednym z nich jest coś, co jest bliskie sercu statystyki.
Załóżmy, że jest zbiorem nieskorelowanych zmiennych losowych wariancji jednostkowych o wspólnej średniej . Zdefiniuj
gdzie . Następnie są losowymi zmiennymi o średniej zerowej, takimi jak
, to znaczy są liniowo zależne. Teraz
więc
podczas gdy
pokazując, że{Xja}K.i = 1K.μYja=Xja-X¯X¯=1K.∑K.i = 1XjaYja∑K.i = 1Yja= 0
Yja=K.- 1K.Xja-1K.∑j ≠ iXjot
var(Yja) =(K.- 1K.)2)+K.- 1K.2)=K.- 1K.
Cov(Yja,Yjot) = - 2 (K.- 1K.)1K.+K.- 2K.2)=- 1K.
Yja są prawie nieskorelowanymi zmiennymi losowymi o współczynniku korelacji .-1K.- 1
Załóżmy, że jeden z jest niezerowy. Bez utraty ogólności, załóżmy, że .zajaza1= 1
Dla oznacza to i . Ale ta korelacja wynosi zero. musi wynosić zero, co przeczy istnieniu relacji liniowej.K.= 2x1= -za2)x2)c o r (x1,x2)) = - 1za1
Dla każdego , i . Ale według twojej hipotezy . Wartości wynoszą zero (dla ), a więc muszą wynosić .K.x1= -∑i > 1zajaxjac o r (x1,xk) = - 1c o r (x1,xk) = 0zajai > 1a1
W przypadku wektorów gaussowskich masz nawet dowód jednowierszowy (który wolę zachować jako komentarz). Korelacja równa 0 oznacza niezależność. oznacza i gotowe. ∑iaixi=0∑ia2i=0
RUser4512
Bardzo dobra odpowiedź. Byłoby miło, gdybyś mógł odpowiedzieć również na edytowane pytanie.
Donbeo
Edytowane pytanie jest znacznie trudniejsze;) Zakładam, że i odnoszą się do tego samego? Nie widzę sensu współczynnika 1 / K, jeśli szukasz korelacji, to nic nie zmieni do końcowego wynikuvxK
RUser4512
1 / K było wymagane, aby . cor(xK,xi)=1/K
Donbeo
4
To może być trochę oszustwo, ale jeśli zdefiniujemy „nieskorelowany” jako mający kowariancję 0, odpowiedź brzmi „ tak” . Niech i będą zerowe z prawdopodobieństwem 1. WtedyXY
Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=0−0=0
podczas gdy , więc i są liniowo zależne (według twojej definicji).X+Y=0XY
Choć jeśli wymagać, że korelacja jest zdefiniowana, to znaczy, że wariancje zarówno i są absolutnie pozytywne, że to nie możliwe, aby znaleźć zmienne spełniające wybrane kryteria (patrz inne odpowiedzi).XY
Nie.
Załóżmy, że jeden z jest niezerowy. Bez utraty ogólności, załóżmy, że .zaja za1= 1
Dla oznacza to i . Ale ta korelacja wynosi zero. musi wynosić zero, co przeczy istnieniu relacji liniowej.K.= 2 x1= -za2)x2) c o r (x1,x2)) = - 1 za1
Dla każdego , i . Ale według twojej hipotezy . Wartości wynoszą zero (dla ), a więc muszą wynosić .K. x1= -∑i > 1zajaxja c o r (x1,xk) = - 1 c o r (x1,xk) = 0 zaja i > 1 a1
źródło
To może być trochę oszustwo, ale jeśli zdefiniujemy „nieskorelowany” jako mający kowariancję 0, odpowiedź brzmi „ tak” . Niech i będą zerowe z prawdopodobieństwem 1. WtedyX Y
podczas gdy , więc i są liniowo zależne (według twojej definicji).X+Y=0 X Y
Choć jeśli wymagać, że korelacja jest zdefiniowana, to znaczy, że wariancje zarówno i są absolutnie pozytywne, że to nie możliwe, aby znaleźć zmienne spełniające wybrane kryteria (patrz inne odpowiedzi).X Y
źródło