Zestaw nieskorelowanych, ale liniowo zależnych zmiennych

9

Czy można mieć zestaw zmiennych, które są nieskorelowane, ale zależne liniowo?K

tj. i \ sum_ {i = 1} ^ K a_ix_i = 0cor(xi,xj)=0i=1Kaixi=0

Jeśli tak, czy możesz napisać przykład?

EDYCJA: Z odpowiedzi wynika, że ​​nie jest to możliwe.

Czy przynajmniej byłoby możliwe, że P(|ρ^xi,xjρ^xi,v|<ϵ) gdzie ρ^ jest szacowanym współczynnikiem korelacji oszacowanym na podstawie n próbek zmiennych i v jest zmienną nieskorelowaną z xi .

Myślę o czymś takim jak xK=1Ki=1K1xi K>>0

Donbeo
źródło

Odpowiedzi:

11

Jak pokazuje odpowiedź @ RUser4512, nieskorelowane zmienne losowe nie mogą być zależne liniowo. Ale prawie nieskorelowane zmienne losowe mogą być liniowo zależne, a jednym z nich jest coś, co jest bliskie sercu statystyki.

Załóżmy, że jest zbiorem nieskorelowanych zmiennych losowych wariancji jednostkowych o wspólnej średniej . Zdefiniuj gdzie . Następnie są losowymi zmiennymi o średniej zerowej, takimi jak , to znaczy są liniowo zależne. Teraz więc podczas gdy pokazując, że{Xi}i=1KKμYi=XiX¯X¯=1Ki=1KXiYii=1KYi=0

Yi=K1KXi1KjiXj
var(Yi)=(K1K)2+K1K2=K1K
cov(Yi,Yj)=2(K1K)1K+K2K2=1K
Yiprawie nieskorelowanymi zmiennymi losowymi o współczynniku korelacji .1K1

Zobacz także moją wcześniejszą odpowiedź .

Dilip Sarwate
źródło
1
To naprawdę fajny przykład!
RUser4512
9

Nie.

Załóżmy, że jeden z jest niezerowy. Bez utraty ogólności, załóżmy, że .aia1=1

Dla oznacza to i . Ale ta korelacja wynosi zero. musi wynosić zero, co przeczy istnieniu relacji liniowej.K=2x1=a2x2cor(x1,x2)=1a1

Dla każdego , i . Ale według twojej hipotezy . Wartości wynoszą zero (dla ), a więc muszą wynosić .Kx1=i>1aixicor(x1,xk)=1cor(x1,xk)=0aii>1a1

RUser4512
źródło
W przypadku wektorów gaussowskich masz nawet dowód jednowierszowy (który wolę zachować jako komentarz). Korelacja równa 0 oznacza niezależność. oznacza i gotowe. iaixi=0iai2=0
RUser4512
Bardzo dobra odpowiedź. Byłoby miło, gdybyś mógł odpowiedzieć również na edytowane pytanie.
Donbeo
Edytowane pytanie jest znacznie trudniejsze;) Zakładam, że i odnoszą się do tego samego? Nie widzę sensu współczynnika 1 / K, jeśli szukasz korelacji, to nic nie zmieni do końcowego wynikuvxK
RUser4512
1 / K było wymagane, aby . cor(xK,xi)=1/K
Donbeo
4

To może być trochę oszustwo, ale jeśli zdefiniujemy „nieskorelowany” jako mający kowariancję 0, odpowiedź brzmi „ tak” . Niech i będą zerowe z prawdopodobieństwem 1. WtedyXY

Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=00=0

podczas gdy , więc i są liniowo zależne (według twojej definicji).X+Y=0XY

Choć jeśli wymagać, że korelacja jest zdefiniowana, to znaczy, że wariancje zarówno i są absolutnie pozytywne, że to nie możliwe, aby znaleźć zmienne spełniające wybrane kryteria (patrz inne odpowiedzi).XY

Karl Ove Hufthammer
źródło